Ekzemplaj Demandoj kaj Diskuto pri Cirklaj Sektoroj
Cirklaj sektoroj estas grava temo en matematiko, kiu ofte aperas en ekzamenoj kaj praktikaj demandoj. Sektoro estas la parto de cirklo limigita de du radiusoj kaj la arko konektanta ilin. En ĉi tiu artikolo, ni diskutos plurajn ekzemplajn problemojn pri cirklaj sektoroj, kune kun detalaj klarigoj, por profundigi nian komprenon.
Difino de Cirkla Sektoro
Cirkla sektoro estas cirkla sektoro limigita de du radiusoj kaj unu arko. La areo de sektoro estas kalkulata surbaze de frakcio de la tuta areo de la cirklo. La ĉefa formulo uzata por kalkuli sektoron estas jena:
– Areo de Jurado: \[L_jurado = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Arka Longo : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Kie:
– θ estas la grandeco de la sektora angulo en gradoj,
– \(r \) estas la radiuso de la cirklo,
– \( \pi \) estas konstanto (proksimume 3.14159).
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Demando 1:
Donita cirklo kun radiuso de 10 cm kaj sektoro kun centra angulo de 90°. Kalkulu la areon de la sektoro.
Diskuto:
Estas konate:
– (r = 10) cm
– ( θ = 90^⁻¹)
Ni uzas la formulon por la areo de sektoro:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_ĵuro = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_ĵuro = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_ĵuro = 25\pi\text{ cm}^2\]
Se π estas prenita kiel 3.14, tiam:
\[L_ĵuro = 25 \times 3.14\text{ cm}^² = 78.5\text{ cm}^²\]
Do, la areo de la sektoro estas 78.5 cm².
Demando 2:
Cirkla sektoro havas radiuson de 7 cm kaj arklongon de 11 cm. Difinu la centran angulon de la sektoro en radianoj.
Diskuto:
Estas konate:
– (r = 7) cm
– Arklongo \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Ni uzas la formulon de arklongo por trovi la angulon θ:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Ĉar oni petas nin trovi la angulon en radianoj, ni anstataŭigas 360° per \(2\pi\) radianoj:
\[P_b = θ × r\]
\[11 = θ × 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \tekst{ rad}\]
Do, la centra angulo de la sektoro estas 1.57 radianoj.
Demando 3:
Cirklo kun radiuso de 16 cm havas sektoron kun areo de 200 cm². Kalkulu la centran angulon de la sektoro.
Diskuto:
Estas konate:
– (r = 16) cm
– \( L_ĵuro = 200 \tekst{ cm}^2 \)
Ni uzas la formulon pri areo por sektoro por trovi θ:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 × 360^\circ = θ × 256 × 3.14\]
\[72000 = θ × 256 × 3.14\]
\[72000 = θ × 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \approx 89.45^\circ\]
Do, la centra angulo de la sektoro estas proksimume 89.45°.
Demando 4:
Kalkulu la tutan cirkonferencon de sektoro, kiu havas radiuson de 12 cm kaj centran angulon de 120°.
Diskuto:
Estas konate:
– (r = 12) cm
– ( θ = 120^⁻¹)
Unue, ni trovas la arklongon:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8π\text{ cm}\]
Poste, ni kalkulas la cirkonferencon de la sektoro (arklongo + du radiusoj):
\[K = 2r + P_b\]
K = 2 × 12 cm + 8 pi cm
K = 24 cm + 8 pi cm
Se π estas prenita kiel 3.14, tiam:
K = 24 cm + 8 × 3.14 cm
K = 24 cm + 25.12 cm
\[K = 49.12\tekst{ cm}\]
Do, la tuta cirkonferenco de la sektoro estas 49.12 cm.
Demando 5:
Se cirklo kun radiuso de 18 cm havas sektoron, kiu faras angulon de 45°, determinu la longon de la arko kaj la areon de la sektoro.
Diskuto:
Estas konate:
– (r = 18) cm
– ( θ = 45^⁻¹)
1. Arka Longo:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{cm}\]
\[P_b = 4.5π\text{ cm}\]
Se π estas prenita kiel 3.14, tiam:
\[P_b = 4.5 × 3.14 cm \proksimume 14.13 cm]
Do, la longo de la arko estas ĉirkaŭ 14.13 cm.
2. Sektoro:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_ĵuro = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_ĵuro = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_ĵuro = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Se π estas prenita kiel 3.14, tiam:
\[L_ĵuro = 40.5 × 3.14 cm² \proksimume 127.17 cm²]
Do, la areo de la sektoro estas proksimume 127.17 cm².
Konkludo
En ĉi tiu artikolo, ni diskutis plurajn ekzemplajn problemojn pri cirklaj sektoroj kaj iliaj solvoj. La esenco de kompreno de cirklaj sektoroj kuŝas en majstrado de la bazaj formuloj por kalkuli la areon de sektoro kaj la longon de arko. Ofta praktiko kaj kompreno pri kiel apliki ĉi tiujn formulojn al diversaj specoj de problemoj espereble helpos plibonigi vian kapablon solvi similajn problemojn.
