Ekzemplo de diskutdemando pri cirklaj arkoj
En geometrio, la cirklo estas ebena figuro kun multaj interesaj konceptoj por studi, unu el kiuj estas la arko. Arko estas la parto de la rando de cirklo kiu kuŝas inter du punktoj sur la cirklo. En ĉi tiu artikolo, ni esploros diversajn ekzemplajn problemojn kaj iliajn solvojn rilatajn al arkoj.
Baza Kompreno pri Cirklaj Arkoj
Antaŭ ol transiri al la ekzemplaj demandoj, gravas unue kompreni kelkajn bazajn konceptojn:
1. Cirklu:
Cirklo estas la kolekto de ĉiuj punktoj en ebeno, kiuj estas egaldistancaj de donita centra punkto.
2. Radiuso (Fingroj):
La radiuso estas la distanco de la centro de la cirklo ĝis iu ajn punkto sur la rando de la cirklo.
3. Diametro:
La diametro estas la plej longa distanco de unu punkto sur la rando de cirklo ĝis alia punkto sur la kontraŭa flanko tra la centro. La diametro estas duoble la radiuso.
4. Arko:
Arko estas parto de la rando de cirklo. Se punktoj A kaj B kuŝas sur la rando de cirklo, tiam arko AB estas la parto de la cirklo inter A kaj B.
Formuloj Rilataj al Cirklaj Arkoj
Por mezuri la longon de arko, ni bezonas kompreni plurajn formulojn:
1. Arklongo (L):
La longo de cirkla arko estas la longo de la rando de la cirklo, kiu inkluzivas la arkon. La formulo estas:
\[
L = r × θ
\]
kie ∫(r) estas la radiuso de la cirklo kaj ∫(θ) estas la centra angulo en radianoj kiu intersekcas la arkon.
2. Arklongo en gradoj:
Se la centra angulo estas en gradoj, ni uzas la formulon:
\[
L = θ360°C × 2πr
\]
kie θ estas la centra angulo en gradoj.
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Demando 1: Kalkulado de Arklongo
Demando:
Cirklo havas radiuson de 10 cm. Kalkulu la longon de la arko subtendata de centra angulo de 60 gradoj.
Diskuto:
– Radiuso de cirklo (\(r\)) = 10 cm
– Centra angulo (\( θ \)) = 60°
Uzante la formulon de arklongo en gradoj:
\[
L = θ360°C × 2πr
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 \text{cm}
\]
\[
L = 1/6 × 2 π × 10 cm
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \tekst{cm}
\]
\[
L \proksimume 10.47 \teksto{ cm}
\]
Do, la longo de la arko estas ĉirkaŭ 10.47 cm.
Demando 2: Determini la Centran Angulon el la Arklongo
Demando:
Donita cirklo kun radiuso de 14 cm havas arklon de 22 cm. Determinu la centran angulon, kiu intersekcas la arkon, en gradoj.
Diskuto:
– Radiuso de cirklo (\(r\)) = 14 cm
– Longo de arko (\( L \)) = 22 cm
Uzu la formulon de arkla longo por trovi θ:
\[
L = θ360°C × 2πr
\]
Anstataŭigu konatajn valorojn:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi \times 14
\]
Izoliĝo θ
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
22 × 360⁻¹ = θ × 28 π
\]
\[
7920 = θ × 28 π
\]
\[
θ = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
θ ĉ. 90.72
\]
Do, la grandeco de la centra angulo estas ĉirkaŭ 90.72 gradoj.
Demando 3: Kalkulado de la Areo de Sektoro
Demando:
Cirkla sektoro estas formita de centra angulo de 120 gradoj kun radiuso de 7 cm. Difinu la areon de la sektoro.
Diskuto:
– Radiuso de cirklo (\(r\)) = 7 cm
– Centra angulo (\( θ \)) = 120°
Uzu la formulon por la areo de sektoro:
\[
A = θ360° × π r²
\]
Anstataŭigu konatajn valorojn:
\[
A = 120°C kaj 360°C × pi × 7²
\]
\[
A = 1/3 × π × 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A \proksimume 51.43 \tekst{ cm}^²
\]
Do, la areo de la sektoro estas proksimume 51.43 cm².
Demando 4: Determini la Arkon el la Areo de Sektoro
Demando:
La areo de cirklosektoro kun radiuso de 6 cm estas 18π cm². Kio estas la longo de la arko de la sektoro?
Diskuto:
– Radiuso de cirklo (\(r\)) = 6 cm
– Areo de sektoro (\( A \)) = 18π cm²
Uzu la formulon pri areo por sektoro por trovi la centran angulon θ:
\[
A = θ360° × π r²
\]
Anstataŭigu konatajn valorojn:
\[
18π = θ/360°C × π × 6²
\]
\[
18π = θ360 × 36π
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36
\]
\[
18 × 360⁻⁻² = θ × 36
\]
\[
6480 = θ × 36
\]
\[
θ = \frac{6480}{36}
\]
\[
θ = 180°
\]
Nun, kun centra angulo de 180 gradoj, ni determinas la arklongon:
\[
L = θ360°C × 2πr
\]
\[
L = 180°C kaj 360°C × 2 π × 6
\]
\[
L = 1/2 × 2 π × 6
\]
\[
L = π × 6
\]
\[
L \proksimume 18.85 \teksto{ cm}
\]
Do, la longo de la arko estas ĉirkaŭ 18.85 cm.
Konkludo
Kompreni cirklajn arkojn kaj kiel kalkuli ilin estas esenca fundamento en geometrio kaj matematiko ĝenerale. Per la ekzemploj diskutitaj en ĉi tiu artikolo, legantoj estas atendataj akiri pli bonan komprenon pri kiel kalkuli arklongon, sektoran areon, kaj determini la centran angulon, kiu intersekcas arkon. Bona kompreno de ĉi tiuj bazaj konceptoj estos tre helpema por solvi diversajn problemojn pri cirkloj.
