1. Δύο μάζες m 1 = 2 kg και m 2 = 5 kg βρίσκονται σε κεκλιμένο επίπεδο και συνδέονται μεταξύ τους με ένα σπάγκο όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m 1 και κλίσης είναι 0.2 και ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m 2 και κλίσης είναι 0.1.
(α) Προσδιορίστε την επιτάχυνσή τους
(β) Προσδιορίστε τη δύναμη εφελκυσμού
Γνωστό:
Μάζα 1 (m1 ) = 2 kg
Μάζα 2 (m 2 ) = 4 kg
Συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m1 και κεκλιμένου επιπέδου (μk1 ) = 0.2
Συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m2 και κεκλιμένου επιπέδου (μk2 ) = 0.1
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 9.8 m/ s²
α) Το μέγεθος και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης
w 1 = βάρος 1 = m 1 g = (2 kg)(9.8 m/s 2 ) = 19.6 Newtons
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newtons
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 Newtons
N 1 = Η κάθετη δύναμη στο m 1 = w 1y = 17 Newtons
F k1 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο m 1 = μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 Newtons
---
w2 = βάρος 2 = m2 g = (4 kg)(9.8 m/s2 ) = 39.2 Newtons
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newton
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newtons
N2 = Η κάθετη δύναμη στο m2 = w2y = 19.6 Newtons
F k2 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο m 2 = μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 Newtons
---
Το μέγεθος της επιτάχυνσης:
∑ Fx = max
w2x > w1x , επομένως η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι η ίδια με την κατεύθυνση του w2x.
Οι δυνάμεις που έχουν κατεύθυνση προς την επιτάχυνση είναι θετικές, ενώ οι δυνάμεις που έχουν κατεύθυνση αντίθετη από την επιτάχυνση είναι αρνητικές.
w2x - ΣΤk2 - Τ.2 + Τ1 - β1x - ΣΤk1 = (μ1 + μ2) προςx
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = (m 1 + m 2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a x
18.94 N = (6 kg) a x
a x = 18.94 N : 6 kg
α x = 3.16 m/ s²
Μέγεθος της επιτάχυνσης = 3.16 m/s² . Κατεύθυνση της επιτάχυνσης = κατεύθυνση του T² = κατεύθυνση του w²x.
β) Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού
Εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στο αντικείμενο 2:
w 2x – F k2 – T 2 = m 2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg) (3.16 m/s 2 )
32.14 N – T2 = 12.64 N
T2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newtons
Η δύναμη εφελκυσμού = T = T1 = T2 = 19.5 Newtons
[irp]
2. m 1 = 4 kg, m 2 = 2 kg. Προσδιορίστε (α) το μέγεθος και την κατεύθυνση της επιτάχυνσης (β) το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει τα m 1 και m 2 (γ) το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει την τροχαλία και την οροφή.
Λύση
w1 = m1 g = (4 kg)(9.8 m/s2 ) = 39.2 Newtons
w2 = m2g = (2 kg)(9.8 m/s2 ) = 19.6 Newtons
α) Μέγεθος και κατεύθυνση της επιτάχυνσης
∑ Fy = mayy
w 1 > w 2 , επομένως η κατεύθυνση του αντικειμένου είναι η ίδια με την κατεύθυνση του βάρους 1 ( w 1 ) . Οι δυνάμεις που έχουν την ίδια κατεύθυνση με την επιτάχυνση είναι θετικές και οι δυνάμεις που έχουν την αντίθετη κατεύθυνση με την επιτάχυνση είναι αρνητικές.
w 1 – T 1 + T 2 – w 2 = (m 1 + m 2 ) a y
w1 – w2 = ( m1 + m2 ) ay
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) a y
19.6 N = (6 kg) ετησίως
a y = 19.6 N : 6 kg
a y = 3.26 m/ s²
Μέγεθος επιτάχυνσης = 3.26 m/s² . Κατεύθυνση επιτάχυνσης = κατεύθυνση του w¹.
β) Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει τα m1 και m2
Εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στο m2 :
∑ Fy = mayy
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg) ( 3.26 m/s 2 )
39.2 N – T1 = 13.04 N
T1 = 39.2 N – 13.04 N
T1 = 26.16 Νιούτον
Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει αντικείμενα = T = T1 = T2 = 26.16 Newtons
γ) Το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει την τροχαλία και την οροφή.
Η τροχαλία είναι σε ηρεμία:
∑ Fy = may y —— ay = 0
∑ Fy = 0
Οι ανοδικές δυνάμεις είναι θετικές, οι καθοδικές δυνάμεις είναι αρνητικές:
Τ3 – Τ1 – Τ2 = 0
Τ3 = Τ1 + Τ2
Τα T1 και T2 έχουν το ίδιο μέγεθος , T1 = T2 = T = 26.16 N:
T3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newtons
[irp]
3. Το μπλοκ 1 (m 1 = 10 kg) και το μπλοκ 2 (m 2 = 15 kg) συνδέονται με ένα κορδόνι πάνω από τροχαλία χωρίς τριβή. Συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 με κλίση = 0.6. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 με κλίση = 0.42. Προσδιορίστε (α) Το μέγεθος της ελάχιστης δύναμης F που ασκείται στα αντικείμενα έτσι ώστε τα αντικείμενα να επιταχύνονται προς τα πάνω (β) Προσδιορίστε το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού.
Λύση
w1 = Το βάρος του μπλοκ 1 = m1 g = (10 kg)(9.8 m/s2 ) = 98 Newtons
w2 = Το βάρος του μπλοκ 2 = m2 g = (15 kg)(9.8 m/s2 ) = 147 Newtons
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 Newtons
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newton
N 2 = Η κάθετη δύναμη στο μπλοκ 2 = w 2y = 127.89 Newtons
F k2 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο μπλοκ 2 = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newtons
F s2 = Η δύναμη της στατικής τριβής στο μπλοκ 2 = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 Newtons
α) Το μέγεθος της ελάχιστης δύναμης F που ασκείται στα αντικείμενα, έτσι ώστε τα αντικείμενα να επιταχύνονται προς τα πάνω
∑ Fx = max —— ax = 0
∑ Fx = 0
Οι ανοδικές και οι δεξιόστροφες δυνάμεις είναι θετικές, ενώ οι καθοδικές και οι αριστερόστροφες είναι αρνητικές.
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = Fk2 + w2x + w1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 Νιούτον
β) Το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού
Εφαρμόστε τον νόμο κίνησης του Νεύτωνα στο μπλοκ 1:
∑ Fy = may y —— ay = 0
∑ Fy = 0
T1 – w1 = 0
T1 = w1 = 98 Νιούτον
Εφαρμόστε τον νόμο κίνησης του Νεύτωνα στο μπλοκ 2:
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T2 = F – Fk2 – w2x
T2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T2 = 98 Νιούτον
Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού = T1 = T2 = T = 98 Newtons
[irp]
4. Το μπλοκ 1 (m 1 = 16 kg) βρίσκεται σε οριζόντια επιφάνεια και το μπλοκ 2 (m 2 = 12 kg) βρίσκεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, συνδεδεμένο με ένα κορδόνι που διέρχεται πάνω από μια μικρή, χωρίς τριβή τροχαλία. Το μπλοκ 3 (m 3 = 5 kg) βρίσκεται στο μπλοκ 2. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 και της οριζόντιας επιφάνειας είναι 0,4. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 και του μπλοκ 3 είναι 0,3.
(α) Όταν το σύστημα απελευθερωθεί από την ηρεμία, το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί;
(β) Αν υπάρχει το μπλοκ 3, ποια είναι η επιτάχυνση του μπλοκ 1 και του μπλοκ 2;
Λύση:
α) Όταν το σύστημα απελευθερωθεί από την ηρεμία, το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί;
w 1 = Το βάρος του μπλοκ 1 = m 1 g = (16 kg)(9.8 m/s 2 ) = 156.8 Newtons
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newtons
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newtons
N 1 = Η κάθετη δύναμη που ασκείται στο μπλοκ 1 από το κεκλιμένο επίπεδο = w 1y = 78.4 Newtons
w 3 = Το βάρος του μπλοκ 3 = m 3 g = (5 kg)(9.8 m/s 2 ) = 49 Newtons
N 23 = Η κάθετη δύναμη που ασκείται στο μπλοκ 3 από το μπλοκ 2 = w 3 = 49 Newtons
N 32 = Η κάθετη δύναμη που ασκείται στο μπλοκ 2 από το μπλοκ 3 = N 23 = w 3 = 49 Newtons
(Τα N 23 και N 32 είναι ζεύγος δράσης-αντίδρασης )
F s23 = Η δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται στο μπλοκ 3 από το μπλοκ 2 = μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7 Newtons
F s32 = Η δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται στο μπλοκ 2 από το μπλοκ 3 = F s23 = 14.7 Newtons
(Τα F s23 και F s32 είναι ζεύγος δράσης-αντίδρασης )
w2 = Το βάρος του μπλοκ 2 = m2 g = (12 kg)(9.8 m/s2 ) = 117.6 Newtons
N 2 = Η κάθετη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο 2 από την οριζόντια επιφάνεια = w 2 + N 3 2 = 117.6 Newtons + 49
Νιούτον = 166.6 Νιούτον
F k2 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο μπλοκ 2 = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newtons
Εφαρμόστε τον νόμο κίνησης του Νεύτωνα στο μπλοκ 3:
∑ Fx = max
F s23 = m 3 a x
—–> Φs23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μ s m 3 g = m 3 a x
μ s g = a x
α x = (0.3)(9.8 m/s² ) = 2.94 m/ s²
Η μέγιστη επιτάχυνση του μπλοκ 3, έτσι ώστε το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 να εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί, είναι 2.94 m/ s2.
Τώρα υπολογίζουμε το μέγεθος της επιτάχυνσης του συστήματος μετά την αποδέσμευσή του από την ηρεμία.
Η κατεύθυνση της μετατόπισης του μπλοκ = η κατεύθυνση της επιτάχυνσης του μπλοκ = η κατεύθυνση του T 2 = η κατεύθυνση του w 1x.
∑ Fx = max
w1x - Τ.1 + Τ2 - ΣΤk2 - ΣΤs32 + Fs23 = (μ1 + μ2 + μ3) προςx
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a x
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a x
69.76 N = (33 kg) a x
α x = 2.11 m/ s²
Το x είναι θετικό, που σημαίνει ότι η κατεύθυνση της μετατόπισης του μπλοκ ή η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι η ίδια με την κατεύθυνση του T2 ή την κατεύθυνση του w1x.
Το μέγεθος της επιτάχυνσης είναι 2.11 m/s² , μικρότερο από 2.94 m/s² , επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί αφού απελευθερωθούν από την ηρεμία.
β) Το μέγεθος της επιτάχυνσης του μπλοκ 1 και του μπλοκ 2
∑ Fx = max
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 ) a x
—–> Φk2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 Νιούτον
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a x
89.36 N = (28 kg) a x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
[wpdm_package id = '493 ′]
- Μάζα και βάρος
- Κανονική δύναμη
- Ο δεύτερος νόμος κίνησης του Νεύτωνα
- Δύναμη τριβής
- Κίνηση σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς δύναμη τριβής
- Η κίνηση δύο σωμάτων με την ίδια επιτάχυνση σε τραχιά οριζόντια επιφάνεια με τη δύναμη τριβής
- Κίνηση στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς δύναμη τριβής
- Κίνηση σε τραχύ κεκλιμένο επίπεδο με τη δύναμη τριβής
- Κίνηση σε ασανσέρ
- Η κίνηση των σωμάτων συνδέεται με σχοινιά και τροχαλίες
- Δύο σώματα με το ίδιο μέγεθος επιτάχυνσης
- Στρογγυλοποίηση μιας επίπεδης καμπύλης – δυναμική κυκλικής κίνησης
- Στρογγυλοποίηση μιας κεκλιμένης καμπύλης – δυναμική κυκλικής κίνησης
- Ομοιόμορφη κίνηση σε οριζόντιο κύκλο
- Κεντρομόλος δύναμη σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση
