1. Δύο μάζες m1 = 2 kg και m2 = 5 kg βρίσκονται σε κεκλιμένο επίπεδο και συνδέονται μεταξύ τους με ένα σπάγκο όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m1 και η κλίση είναι 0.2 και ο συντελεστής του κινητική τριβή μεταξύ m2 και η κλίση είναι 0.1.
(α) Προσδιορίστε τους επιτάχυνση
(β) Προσδιορίστε τη δύναμη εφελκυσμού
Γνωστό:
Μάζα 1 (μ1) = 2 κιλά
Μάζα 2 (m2) = 4 κιλά
Συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m1 και κεκλιμένο επίπεδο (μk1) = 0.2
Συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ m2 και κεκλιμένο επίπεδο (μk2) = 0.1
Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 9.8 m/s2
α) Το μέγεθος και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης
w1 = βάρος 1 = μ1 g = (2 kg)(9.8 m/s2) = 19.6 Νιούτον
w1x = w1 αμαρτία 30o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newtons
w1y = w1 cos 30o = (19.6 N)(0.87) = 17 Newtons
N1 = Το κανονική δύναμη σε μ1 = w1y = 17 Νιούτον
Fk1 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο m1 = μk1 N1 = (0.2)(17 Ν) = 3.4 Νιούτον
---
w2 = βάρος 2 = m2 g = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 Νιούτον
w2x = w2 αμαρτία 60o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newtons
w2y = w2 cos 60o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newtons
N2 = Η κάθετη δύναμη στο m2 = w2y = 19.6 Νιούτον
Fk2 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο m2 = μk2 N2 = (0.1)(19.6 Ν) = 1.96 Νιούτον
---
Το μέγεθος της επιτάχυνσης:
ΣFx = μαμάx
w2x > w1x άρα η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι η ίδια με την κατεύθυνση του w2x.
Οι δυνάμεις που έχουν κατεύθυνση προς την επιτάχυνση είναι θετικές, ενώ οι δυνάμεις που έχουν κατεύθυνση αντίθετη από την επιτάχυνση είναι αρνητικές.
w2x - ΣΤk2 - Τ.2 + Τ1 - β1x - ΣΤk1 = (μ1 + μ2) προςx
w2x - ΣΤk2 - β1x - ΣΤk1 = (μ1 + μ2 ) προςx
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) ax
18.94 N = (6 kg) ax
ax = 18.94 Ν: 6 κιλά
ax = 3.16 m/s2
Μέγεθος της επιτάχυνσης = 3.16 m/s2 Κατεύθυνση της επιτάχυνσης = κατεύθυνση του T1 = κατεύθυνση του w2x
β) Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού
Εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στο αντικείμενο 2:
w2x - ΣΤk2 - Τ.2 = μ2 ax
34.1 N – 1.96 N – T2 = (4kg)(3.16m/s2)
32.14 Β – Θ2 = 12.64 Β
T2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newtons
Η δύναμη εφελκυσμού = T = T1 = Τ2 = 19.5 Νιούτον
2. μ.1 = 4 kg, m2 = 2 kg. Προσδιορίστε (α) το μέγεθος και την κατεύθυνση της επιτάχυνσης (β) το μέγεθος της εφελκυστικής δύναμης που συνδέει το m1 και m2 (γ) μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει την τροχαλία και την οροφή.
Λύση
w1 = μ1 g = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 Νιούτον
w2 = μ2 g = (2 kg)(9.8 m/s2) = 19.6 Νιούτον
α) Μέγεθος και κατεύθυνση της επιτάχυνσης
ΣFy = μαμάy
w1 > w2 έτσι η κατεύθυνση του αντικειμένου είναι η ίδια με την κατεύθυνση του βάρους 1 (w1)Οι δυνάμεις που έχουν την ίδια κατεύθυνση με την επιτάχυνση είναι θετικές και οι δυνάμεις που έχουν την αντίθετη κατεύθυνση με την επιτάχυνση είναι αρνητικές.
w1 - Τ.1 + Τ2 - β2 = (μ1 + μ2) προςy
w1 - β2 = (μ1 + μ2) προςy
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) αy
19.6 N = (6 kg) ay
ay = 19.6 Ν: 6 κιλά
ay = 3.26 m/s2
Μέγεθος επιτάχυνσης = 3.26 m/s2Κατεύθυνση επιτάχυνσης = κατεύθυνση του w1 .
β) Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει το m1 και m2
Εγγραφές δεύτερος νόμος του Νεύτωνα σε μ2 :
ΣFy = μαμάy
w1 - Τ.1 = μ1 ay
39.2 Β – Θ1 = (4 kg)( 3.26 m/s2)
39.2 Β – Θ1 = 13.04 Β
T1 = 39.2 N – 13.04 N
T1 = 26.16 Νιούτον
Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει τα αντικείμενα = T = T1 = Τ2 = 26.16 Νιούτον
γ) Το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού που συνδέει την τροχαλία και την οροφή.
Η τροχαλία είναι σε ηρεμία:
ΣFy = μαμάy —— έναy = 0
ΣFy = 0
Οι ανοδικές δυνάμεις είναι θετικές, οι καθοδικές δυνάμεις είναι αρνητικές:
T3 - Τ.1 - Τ.2 = 0
T3 = Τ1 + Τ2
T1 και Τ2 έχουν το ίδιο μέγεθος, Τ1 = Τ2 = T = 26.16 N:
T3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newtons
3. Τετράγωνο 1 (μ.)1 = 10 kg) και μπλοκ 2 (m2 = 15 kg) συνδεδεμένα με ένα κορδόνι πάνω από τροχαλία χωρίς τριβή. Συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 με κλίση = 0.6. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 με κλίση = 0.42. Προσδιορίστε (α) Το μέγεθος της ελάχιστης δύναμης F που ασκείται στα αντικείμενα έτσι ώστε τα αντικείμενα να επιταχύνονται προς τα πάνω (β) Προσδιορίστε το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού.
Λύση
w1 = Το βάρος του μπλοκ 1 = m1 g = (10 kg)(9.8 m/s2) = 98 Νιούτον
w2 = Το βάρος του μπλοκ 2 = m2 g = (15 kg)(9.8 m/s2) = 147 Νιούτον
w2y = w2 cos 30o = (147 N)(0.87) = 127.89 Newtons
w2x = w2 αμαρτία 30o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newtons
N2 = Η κάθετη δύναμη στο μπλοκ 2 = w2y = 127.89 Νιούτον
Fk2 = Η δύναμη της κινητικής τριβής στο μπλοκ 2 = μk2 N2 = (0.42)(127.89 Ν) = 53.7 Νιούτον
Fs2 = Η δύναμη της στατικής τριβής στο μπλοκ 2 = μs2 N2 = (0.6)(127.89 Ν) = 76.7 Νιούτον
α) Το μέγεθος της ελάχιστης δύναμης F που ασκείται στα αντικείμενα, έτσι ώστε τα αντικείμενα να επιταχύνονται προς τα πάνω
ΣFx = μαμάx —— έναx = 0
ΣFx = 0
Οι ανοδικές και οι δεξιόστροφες δυνάμεις είναι θετικές, ενώ οι καθοδικές και οι αριστερόστροφες είναι αρνητικές.
Φ – Φk2 - β2x - β1 - Τ.2 + Τ1 = 0
Φ – Φk2 - β2x - β1 = 0
Φ = Φk2 +w2x +w1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 Νιούτον
β) Το μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού
Εφαρμόστε τον νόμο κίνησης του Νεύτωνα στο μπλοκ 1:
ΣFy = μαμάy —— έναy = 0
ΣFy = 0
T1 - β1 = 0
T1 = w1 = 98 Νιούτον
Εφαρμόστε τον νόμο κίνησης του Νεύτωνα στο μπλοκ 2:
Φ – Φk2 - β2x - Τ.2 = 0
T2 = Φ – Φk2 - β2x
T2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T2 = 98 Νιούτον
Μέγεθος της δύναμης εφελκυσμού = T1 = Τ2 = T = 98 Νιούτον
4. Τετράγωνο 1 (μ.)1 = 16 kg) βρίσκεται σε οριζόντια επιφάνεια και το μπλοκ 2 (m2 = 12 kg) βρίσκεται σε ένα λείο κεκλιμένο επίπεδο, συνδεδεμένο με ένα κορδόνι που περνάει πάνω από μια μικρή, χωρίς τριβή τροχαλία. Μπλοκ 3 (m3 = 5 kg) βρίσκεται στο μπλοκ 2. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του μπλοκ 2 και της οριζόντιας επιφάνειας είναι 0,4. Η αντίστασηfΗ στατική τριβή μεταξύ του μπλοκ 2 και του μπλοκ 3 είναι 0,3.
(Α) Όταν το σύστημα απελευθερωθεί από την ηρεμία, το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί;
(Β) Αν υπάρχει το μπλοκ 3, ποια είναι η επιτάχυνση του μπλοκ 1 και του μπλοκ 2;
Λύση:
a) Όταν το σύστημα απελευθερωθεί από την ηρεμία, το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί;
w1 = Το βάρος του μπλοκ 1 = μ1 g = (16 kg)(9.8 m/s2) = 156.8 Νιούτον
w1x = w1 αμαρτία 60o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newtons
w1y = w1 cos 60o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newtons
N1 = Το κάθετη δύναμη που ασκείται στο μπλοκ 1 από το κεκλιμένο επίπεδο = w1y = 78.4 Νιούτον
w3 = Το βάρος του μπλοκ 3 = μ3 g = (5 kg)(9.8 m/s2) = 49 Νιούτον
N23 = Το κάθετη δύναμη που ασκείται στο μπλοκ 3 από το μπλοκ 2 = w3 = 49 Νιούτον
N32 = Το nκάθετη δύναμη που ασκείται στο μπλοκ 2 από το μπλοκ 3 = Ν23 = w3 = 49 Νιούτον
(N23 και N32 είναι ζεύγη δράσης-αντίδρασης)
Fs23 = Το δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται στο μπλοκ 3 από το μπλοκ 2 = μs N23 = (0.3)(49 Ν) = 14.7 νεύτο
Fs32 = Το δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται στο μπλοκ 2 από το μπλοκ 3 = ΣΤs23 = 14.7 Νιούτον
(Fs23 και Fs32 είναι ζεύγη δράσης-αντίδρασης)
w2 = Το βάρος του μπλοκ 2 = μ2 g = (12 kg)(9.8 m/s2) = 117.6 Νιούτον
N2 = Το κάθετη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο 2 από την οριζόντια επιφάνεια = w2 + Ν32 = 117.6 Νιούτον + 49
Νιούτον = 166.6 Νιούτον
Fk2 = Το δύναμη της κινητικής τριβής στο μπλοκ 2 = μk N2 = (0.4)(166.6 Ν) = 66.64 Νιούτον
Εφαρμόστε τον νόμο κίνησης του Νεύτωνα στο μπλοκ 3:
ΣFx = μαμάx
Fs23 =m3 ax
—–> Φs23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μs m3 g = m3 ax
μs g = αx
ax = (0.3)(9.8 m/s2) = 2.94 m/s2
Η μέγιστη επιτάχυνση του μπλοκ 3, έτσι ώστε το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 να εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί, είναι 2.94 m/s.2.
Τώρα υπολογίζουμε το μέγεθος της επιτάχυνσης του συστήματος μετά την αποδέσμευσή του από την ηρεμία.
Η κατεύθυνση της μετατόπισης του μπλοκ = η κατεύθυνση της επιτάχυνσης του μπλοκ = η κατεύθυνση του T2 = η κατεύθυνση του w1x.
ΣFx = μαμάx
w1x - Τ.1 + Τ2 - ΣΤk2 - ΣΤs32 + Fs23 = (μ1 + μ2 + μ3) προςx
w1x - ΣΤk2 = (μ1 + μ2 + μ3 ) προςx
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) ax
69.76 N = (33 kg) ax
ax = 2.11 m/s2
ax είναι θετική, σημαίνει ότι η κατεύθυνση της μετατόπισης του μπλοκ ή η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι η ίδια με την κατεύθυνση του T.2 ή κατεύθυνση του w1x.
Το μέγεθος της επιτάχυνσης είναι 2.11 m / s2 , Lπιο ισχυρό από 2.94 m / s2 έτσι μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μπλοκ 3 και το μπλοκ 2 εξακολουθούν να ολισθαίνουν μαζί μετά την απελευθέρωσή τους από την ηρεμία.
b) Το μέγεθος της επιτάχυνσης του μπλοκ 1 και του μπλοκ 2
ΣFx = μαμάx
w1x - ΣΤk2 = (μ1 + μ2) προςx
—–> Φk2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 Νιούτον
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) αx
89.36 N = (28 kg) ax
ax = 89.36 Β : 28 kg = 3.19 m/s2
[wpdm_package id = '493 ′]
- Μάζα και βάρος
- Κανονική δύναμη
- Ο δεύτερος νόμος κίνησης του Νεύτωνα
- Δύναμη τριβής
- Κίνηση σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς δύναμη τριβής
- Η κίνηση δύο σωμάτων με την ίδια επιτάχυνση σε τραχιά οριζόντια επιφάνεια με τη δύναμη τριβής
- Κίνηση στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς δύναμη τριβής
- Κίνηση σε τραχύ κεκλιμένο επίπεδο με τη δύναμη τριβής
- Κίνηση σε ασανσέρ
- Η κίνηση των σωμάτων συνδέεται με σχοινιά και τροχαλίες
- Δύο σώματα με το ίδιο μέγεθος επιτάχυνσης
- Στρογγυλοποίηση μιας επίπεδης καμπύλης – δυναμική κυκλικής κίνησης
- Στρογγυλοποίηση μιας κεκλιμένης καμπύλης – δυναμική κυκλικής κίνησης
- Ομοιόμορφη κίνηση σε οριζόντιο κύκλο
- Κεντρομόλος δύναμη σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση
