Παράδειγμα σειριακής παράλληλης διάταξης ελατηρίων

4 παραδείγματα σειριακά παράλληλων διατάξεων ελατηρίων

1. Τρία πανομοιότυπα ελατήρια, το καθένα με σταθερά ελαστικότητας 200 N/m, είναι διατεταγμένα σε σειρά και παράλληλα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ένα βάρος w αιωρείται από το κάτω άκρο του συγκροτήματος ελατηρίου, αυξάνοντας το μήκος του συγκροτήματος ελατηρίου κατά 1 cm. Το βάρος του βάρους w είναι…
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Η σταθερά κάθε ελατηρίου (k₁ = κ₂ = κ₃) = 200 N/m
Η αύξηση του μήκους του συστήματος ελατηρίων (x) = 1 cm = 0,01 μέτρα
Ερωτήθηκε: βάρος φορτίου (w)
Απάντηση:
Πρώτη καταμέτρηση σταθερά ελατηρίου συνδυασμός.
Το ελατήριο 1 και το ελατήριο 2 είναι διατεταγμένα παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου είναι:
k_p = κ₁ + κ₂ = 200 + 200 = 400 Νιούτον/μέτρο

Παράλληλη διάταξη ελατηρίων αντικατάστασης (k_p) και ελατήριο 3 (k₃) διατεταγμένα σε σειρά. Η σταθερά αντικατάστασης ελατηρίου είναι:
1/k = 1/k_p + 1/k₃ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400
k = 400/3 Νιούτον/μέτρο
Υπολογίστε το βάρος του φορτίου χρησιμοποιώντας τον τύπο Νόμος του Χουκ.
F = w = kx
w = (400/3)(0,01) = 4/3 Νιούτον
Η βαρύτητα του φορτίου είναι 4/3 Newtons

2. Τέσσερα πανομοιότυπα ελατήρια έχουν σταθερά 500 N/m το καθένα, διατεταγμένα σε σειρά και παράλληλα. Προσδιορίστε την αύξηση του μήκους του συστήματος ελατηρίων όταν δοθεί φορτίο 20 Newton.
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Η σταθερά κάθε ελατηρίου (k₁ = κ₂ = κ₃ = κ₄) = 500 N/m
Δύναμη βάρους (w) = 20 Newtons
Ερώτηση: αύξηση του μήκους του συστήματος ελατηρίων (x)
Απάντηση:
Αρχικά, υπολογίστε τη συνδυασμένη σταθερά ελατηρίου.
Το ελατήριο 1, το ελατήριο 2 και το ελατήριο 3 είναι διατεταγμένα παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου είναι:
k_p = κ₁ + κ₂ + κ₃ = 500 + 500 + 500 = 1500 Νιούτον/μέτρο

Παράλληλη διάταξη ελατηρίων αντικατάστασης (k_p) και ελατήριο 4 (k₄) διατεταγμένα σε σειρά. Η σταθερά αντικατάστασης ελατηρίου είναι:
1/k = 1/k_p + 1/k₃ = 1/1500 + 1/500 = 1/1500 + 3/1500 = 4/1500
k = 1500/4 = 375 Newton/μέτρο
Χρησιμοποιήστε τον νόμο του Hooke για να προσδιορίσετε την αύξηση του μήκους του συστήματος ελατηρίων. Η αύξηση του μήκους του συστήματος ελατηρίων είναι:
x = F / k = w / k
x = 20 / 375
x = 0,05 μέτρα
x = 5 cm

3. Τέσσερα πανομοιότυπα ελατήρια είναι διατεταγμένα σε σειρά και παράλληλα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Όταν δοθεί φορτίο 20 Newton, το σύστημα ελατηρίων αυξάνεται σε μήκος κατά 4 cm. Προσδιορίστε (α) τη συνδυασμένη σταθερά του συστήματος. σειριακά παράλληλα ελατήρια (β) η σταθερά κάθε ελατηρίου.
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Δύναμη βάρους (w) = 20 Newtons
Η αύξηση του μήκους του συστήματος ελατηρίων (x) = 4 cm = 0,04 μέτρα
Απάντηση:
(Α) συνδυασμένη σταθερά συστήματος ελατηρίων
k = F / x = w / x
k = 20 / 0,04 = 500 Νιούτον/μέτρο
(Β) σταθερά κάθε ελατηρίου
Τα τέσσερα ελατήρια είναι πανομοιότυπα, έτσι ώστε και τα τέσσερα ελατήρια να έχουν την ίδια σταθερά. Εάν τα ελατήρια 1, 2 και 3 αντικατασταθούν από ένα μόνο ελατήριο, θα υπάρχουν δύο ελατήρια, δηλαδή τα παράλληλα ελατήρια αντικατάστασης (k_p) και ελατήριο 4 (k₄). Αυτά τα δύο ελατήρια είναι διατεταγμένα σε σειρά. Ο τύπος για τον προσδιορισμό της σταθεράς σειράς είναι:
1/k = 1/k_p + 1/k₄  
1/500 = 1/k_p + 1/k₄  —- εξίσωση 1
k_p είναι η σταθερά αντικατάστασης ελατηρίου για τα ελατήρια 1, 2 και 3 που είναι διατεταγμένα παράλληλα. Δεδομένου ότι τα τρία ελατήρια είναι πανομοιότυπα, η σταθερά ελατηρίου κάθε ελατηρίου έχει το ίδιο μέγεθος και μπορεί να αναπαρασταθεί με το γράμμα k.
k_p = κ₁ + κ₂ + κ₃
k_p = κ + κ + κ
k_p = 3k —- εξίσωση 2
Αντικατάσταση k_p στην εξίσωση 1 με k_p στην εξίσωση 2. Επίσης, αντικαταστήστε το k₄ με k
1/500 = 1/3k + 1/k
1/500 = 1/3 χιλ. + 3/3 χιλ.
1/500 = 4/3 χιλ.
3k = (4)(500)
3k = 2000
k = 2000 / 3
k = 667 N/m (στρογγυλοποιημένο αποτέλεσμα)
Έτσι, η σταθερά κάθε ελατηρίου είναι k₁ = κ₂ = κ₃ = κ₄ = 667 Νιούτον/μέτρο.

4. Τρία ελατήρια είναι διατεταγμένα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η σταθερά κάθε ελατηρίου είναι k.₁= 100 N/m, k₂ = 100 N/m, k₃ = 200 N/m. Μια μάζα αιωρείται στο κάτω μέρος του ελατηρίου έτσι ώστε το συγκρότημα του ελατηρίου να παρουσιάζει αύξηση μήκους 10 cm. Εάν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s² τότε η μάζα του φορτίου είναι…
Α. 1 κιλά
Β. 2 κιλά
Γ. 3 κιλά
Δ. 4 κιλά
Ε. 5 κιλά

Συζήτηση:
Είναι γνωστό :
k₁= 100 N/m, k₂ = 100 N/m, k₃ = 200 N/m
x = 10 cm = 0,1 μέτρα
g = 10 m/s²
Ερωτηθείς :
Μάζα φορτίου (m);
Jawab :
Τύπος νόμου του Hooke :
F = kx
w = kx
mg = kx
Περιγραφή: F = δύναμη, w = βαρύτητα, m = μάζα φορτίου, g = επιτάχυνση λόγω βαρύτητας, k = σταθερά ελατηρίου, x = αύξηση του μήκους του συγκροτήματος ελατηρίου
Υπολογίστε τη συνδυασμένη σταθερά ελατηρίου :
Το ελατήριο 1 και το ελατήριο 2 είναι διατεταγμένα παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου είναι:
k_p = κ₁ + κ₂ = 100 + 100 = 200 N/m
Το ελατήριο αντικατάστασης και το ελατήριο 3 είναι διατεταγμένα σε σειρά. Η σταθερά του ελατηρίου αντικατάστασης είναι:
1/k = 1/k_p + 1/k₃ = 1/200 + 1/200 = 2/200
k = 200/2 = 100 N/m
Υπολογίστε τη μάζα του φορτίου :
mg = kx
m (10) = (100)(0,1)
m (10) = 10
m = 10 / 10
m = 1 kg
Η σωστή απάντηση είναι το Α.