Zwei Massen m₁ = 2 kg und m₂ = 5 kg befinden sich auf einer schiefen Ebene und sind, wie in der Abbildung dargestellt, durch eine Schnur miteinander verbunden. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen m₁ und der schiefen Ebene beträgt 0.2, der Gleitreibungskoeffizient zwischen m₂ und der schiefen Ebene 0.1.
(a) Bestimmen Sie ihre Beschleunigung
b) Bestimmen Sie die Zugkraft
Bekannt:
Masse 1 (m 1 ) = 2 kg
Masse 2 (m 2 ) = 4 kg
Gleitreibungskoeffizient zwischen m 1 und der schiefen Ebene (μ k1 ) = 0.2
Gleitreibungskoeffizient zwischen m₂ und der schiefen Ebene (μ k₂ ) = 0.1
Erdbeschleunigung (g) = 9.8 m/ s²
a) Betrag und Richtung der Beschleunigung
w₁ = Gewicht₁ = m₁g = ( 2 kg)(9.8 m/s² ) = 19.6 Newton
w 1x = w 1 sin 30 o = (19.6 N)(0.5) = 9.8 Newton
w 1y = w 1 cos 30 o = (19.6 N)(0.87) = 17 Newton
N₁ = Die Normalkraft auf m₁ = w₁y = 17 Newton
F k1 = Die Kraft der kinetischen Reibung auf m 1 = μ k1 N 1 = (0.2)(17 N) = 3.4 Newton
---
w² = Gewicht² = m² g = (4 kg)(9.8 m/s² ) = 39.2 Newton
w 2x = w 2 sin 60 o = (39.2 N)(0.87) = 34.1 Newton
w 2y = w 2 cos 60 o = (39.2 N)(0.5) = 19.6 Newton
N 2 = Die Normalkraft auf m 2 = w 2y = 19.6 Newton
F k2 = Die Kraft der kinetischen Reibung auf m 2 = μ k2 N 2 = (0.1)(19.6 N) = 1.96 Newton
---
Die Größe der Beschleunigung:
∑ F x = ma x
w 2x > w 1x, daher ist die Richtung der Beschleunigung die gleiche wie die Richtung von w 2x.
Kräfte, die in Richtung der Beschleunigung wirken, sind positiv, Kräfte, die der Beschleunigung entgegengesetzt gerichtet sind, sind negativ.
w2x - Fk2 - T2 + T1 - w1x - Fk1 = (m1 +m2) Diex
w 2x – F k2 – w 1x – F k1 = (m 1 + m 2 ) a x
34.1 N – 1.96 N – 9.8 N – 3.4 N = (2 kg + 4 kg) a x
18.94 N = (6 kg) a x
a x = 18.94 N : 6 kg
a x = 3.16 m/s 2
Betrag der Beschleunigung = 3.16 m/s² . Richtung der Beschleunigung = Richtung von T₁ = Richtung von w²x
b) Betrag der Zugkraft
Wende das zweite Newtonsche Gesetz auf Objekt 2 an:
w 2x – F k2 – T 2 = m 2 a x
34.1 N – 1.96 N – T 2 = (4 kg)(3.16 m/s 2 )
32.14 N – T 2 = 12.64 N
T 2 = 32.14 N – 12.64 N = 19.5 Newton
Die Zugkraft = T = T 1 = T 2 = 19.5 Newton
2. m₁ = 4 kg, m₂ = 2 kg. Bestimmen Sie (a) Betrag und Richtung der Beschleunigung, (b) Betrag der Zugkraft zwischen m₁ und m₂ , (c) Betrag der Zugkraft zwischen Rolle und Dach.
Lösung
w₁ = m₁g = ( 4 kg)(9.8 m/s² ) = 39.2 Newton
w² = m² g = (2 kg)(9.8 m/s² ) = 19.6 Newton
a) Betrag und Richtung der Beschleunigung
∑ F y = ma y
Da w₁ > w₂ , ist die Richtung des Objekts gleich der Richtung der Gewichtskraft w₁ . Kräfte , die in die gleiche Richtung wie die Beschleunigung wirken , sind positiv, Kräfte, die in die entgegengesetzte Richtung wirken, sind negativ.
w₁ – T₁ + T₂ – w₂ = ( m₁ + m₂ ) a y
w₁ – w₂ = ( m₁ + m₂ ) a y
39.2 N – 19.6 N = (4 kg + 2 kg) pro Jahr
19.6 N = (6 kg) a y
a y = 19.6 N : 6 kg
a y = 3.26 m/s 2
Betrag der Beschleunigung = 3.26 m/s² . Richtung der Beschleunigung = Richtung von w₁.
b) Betrag der Zugkraft, die m1 und m2 verbindet
Wende das zweite Newtonsche Gesetz auf m 2 an :
∑ F y = ma y
w 1 – T 1 = m 1 a y
39.2 N – T 1 = (4 kg)( 3.26 m/s 2 )
39.2 N – T 1 = 13.04 N
T 1 = 39.2 N – 13.04 N
T 1 = 26.16 Newton
Betrag der Zugkraft, die die Objekte verbindet = T = T 1 = T 2 = 26.16 Newton
c) Größe der Zugkraft, die die Rolle mit dem Dach verbindet.
Die Rolle befindet sich in Ruhe:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
Nach oben gerichtete Kräfte sind positiv, nach unten gerichtete Kräfte sind negativ:
T 3 – T 1 – T 2 = 0
T3 = T1 + T2
T 1 und T 2 haben die gleiche Größe , T 1 = T 2 = T = 26.16 N :
T 3 = 2T = 2(26.16 N) = 52.32 Newton
3. Block 1 (m₁ = 10 kg) und Block 2 (m₂ = 15 kg) sind über eine reibungslose Rolle durch ein Seil verbunden. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Block 2 und der schiefen Ebene beträgt 0.6. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block 2 und der schiefen Ebene beträgt 0.42. Bestimmen Sie (a) die Größe der minimalen Kraft F, die auf die Objekte wirken muss, damit diese nach oben beschleunigt werden, und (b) die Größe der Seilkraft.
Lösung
w² = Gewicht des Blocks² = m²g = (10 kg)(9.8 m/s² ) = 98 Newton
w² = Gewicht des Blocks² = m²g = (15 kg)(9.8 m/s² ) = 147 Newton
w 2y = w 2 cos 30 o = (147 N)(0.87) = 127.89 Newton
w 2x = w 2 sin 30 o = (147 N)(0.5) = 73.5 Newton
N 2 = Die Normalkraft auf den Block 2 = w 2y = 127.89 Newton
F k2 = Die Kraft der kinetischen Reibung auf den Block 2 = μ k2 N 2 = (0.42)(127.89 N) = 53.7 Newton
F s2 = Die statische Reibungskraft auf den Block 2 = μ s2 N 2 = (0.6)(127.89 N) = 76.7 Newton
a) Die Größe der minimalen Kraft F, die auf die Objekte wirkt, sodass die Objekte nach oben beschleunigt werden.
∑ F x = ma x —— a x = 0
∑ F x = 0
Aufwärts und nach rechts gerichtete Kräfte sind positiv, abwärts und nach links gerichtete Kräfte sind negativ.
F – F k2 – w 2x – w 1 – T 2 + T 1 = 0
F – F k2 – w 2x – w 1 = 0
F = F k2 + w 2x + w 1
F = 53.7 N + 73.5 N + 98 N
F = 225.2 Newton
b) Die Größe der Zugkraft
Wende das Newtonsche Bewegungsgesetz auf Block 1 an:
∑ F y = ma y —— a y = 0
∑ F y = 0
T 1 – w 1 = 0
T 1 = w 1 = 98 Newton
Wende das Newtonsche Bewegungsgesetz auf Block 2 an:
F – F k2 – w 2x – T 2 = 0
T 2 = F – F k2 – w 2x
T 2 = 225.2 N – 53.7 N – 73.5 N
T 2 = 98 Newton
Betrag der Zugkraft = T 1 = T 2 = T = 98 Newton
4. Block 1 (m₁ = 16 kg) liegt auf einer horizontalen Fläche, Block 2 (m₂ = 12 kg) auf einer glatten schiefen Ebene. Die beiden Blöcke sind durch eine Schnur verbunden, die über eine kleine, reibungsfreie Rolle läuft. Block 3 (m₃ = 5 kg) liegt auf Block 2. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block 2 und der horizontalen Fläche beträgt 0,4. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Block 2 und Block 3 beträgt 0,3.
(a) Wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird, gleiten Block 3 und Block 2 immer noch zusammen?
(b) Wenn es einen dritten Block gibt, wie groß ist die Beschleunigung des ersten Blocks und des zweiten Blocks?
Lösung:
a) Gleiten Block 3 und Block 2 immer noch zusammen, wenn das System aus der Ruheposition losgelassen wird?
w 1 = Das Gewicht des Blocks 1 = m 1 g = (16 kg)(9.8 m/s 2 ) = 156.8 Newton
w 1x = w 1 sin 60 o = (156.8 N)(0.87) = 136.4 Newton
w 1y = w 1 cos 60 o = (156.8 N)(0.5) = 78.4 Newton
N 1 = Die Normalkraft, die von der schiefen Ebene auf den Block 1 ausgeübt wird = w 1y = 78.4 Newton
w 3 = Das Gewicht des Blocks 3 = m 3 g = (5 kg)(9.8 m/s 2 ) = 49 Newton
N 23 = Die Normalkraft, die von Block 2 auf Block 3 ausgeübt wird = w 3 = 49 Newton
N 32 = Die Normalkraft, die Block 3 auf Block 2 ausübt = N 23 = w 3 = 49 Newton
(N 23 und N 32 bilden ein Aktions-Reaktions-Paar )
F s23 = Die statische Reibungskraft, die von Block 2 auf Block 3 ausgeübt wird = μ s N 23 = (0.3)(49 N) = 14.7 Newton
F s32 = Die statische Reibungskraft, die Block 3 auf Block 2 ausübt = F s 23 = 14.7 Newton
(F s23 und F s32 bilden ein Aktions-Reaktions-Paar )
w² = Gewicht des Blocks² = m²g = (12 kg)(9.8 m/s² ) = 117.6 Newton
N₂ = Die Normalkraft, die von der horizontalen Fläche auf den Körper 2 ausgeübt wird = w₂ + N₃₂ = 117.6 Newton + 49
Newton = 166.6 Newton
F k2 = Die Kraft der kinetischen Reibung auf den Block 2 = μ k N 2 = (0.4)(166.6 N) = 66.64 Newton
Wende das Newtonsche Bewegungsgesetz auf Block 3 an:
∑ F x = ma x
F s23 = m 3 a x
—–> Fs23 = μs N23 = μs w3 = μs m3 g
μ s m 3 g = m 3 a x
μ s g = a x
a x = (0.3)(9.8 m/s 2 ) = 2.94 m/s 2
Die maximale Beschleunigung des Blocks 3, bei der Block 3 und Block 2 noch zusammen gleiten, beträgt 2.94 m/ s².
Nun berechnen wir die Größe der Beschleunigung des Systems nach dem Loslassen aus der Ruhe.
Die Richtung der Blockverschiebung = die Richtung der Blockbeschleunigung = die Richtung von T 2 = die Richtung von w 1x.
∑ F x = ma x
w1x - T1 + T2 - Fk2 - Fs32 + Fs23 = (m1 +m2 +m3) Diex
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a x
136.4 N – 66.64 N = (16 kg + 12 kg + 5 kg) a x
69.76 N = (33 kg) a x
a x = 2.11 m/ s²
a x ist positiv, was bedeutet, dass die Richtung der Blockverschiebung oder die Richtung der Beschleunigung mit der Richtung von T 2 oder der Richtung von w 1x übereinstimmt.
Die Beschleunigung beträgt 2.11 m/s² , ist also kleiner als 2.94 m/s² . Daraus können wir schließen, dass Block 3 und Block 2 nach dem Loslassen aus der Ruhelage immer noch gemeinsam gleiten.
b) Die Größe der Beschleunigung von Block 1 und Block 2
∑ F x = ma x
w 1x – F k2 = (m 1 + m 2 ) a x
—–> Fk2 = μk N2 = μk w2 = μk m2 g = (0.4)(12 kg)(9.8 m/s2) = 47.04 Newton
136.4 N – 47.04 N = (16 kg + 12 kg) a x
89.36 N = (28 kg) a x
a x = 89.36 N : 28 kg = 3.19 m/s 2
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- Masse und Gewicht
- Normale Kraft
- Newtons zweites Bewegungsgesetz
- Reibungskraft
- Bewegung auf der horizontalen Fläche ohne Reibungskraft
- Die Bewegung zweier Körper mit gleicher Beschleunigung auf einer rauen horizontalen Oberfläche unter Berücksichtigung der Reibungskraft
- Bewegung auf der schiefen Ebene ohne Reibungskraft
- Bewegung auf der rauen schiefen Ebene mit der Reibungskraft
- Bewegung in einem Aufzug
- Die Bewegung von Körpern wird durch Seile und Rollen verbunden.
- Zwei Körper mit gleich großer Beschleunigung
- Durchfahren einer flachen Kurve – Dynamik der Kreisbewegung
- Durchfahren einer geneigten Kurve – Dynamik der Kreisbewegung
- Gleichförmige Bewegung in einem horizontalen Kreis
- Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
