Physik

Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala Fahrenheit-Skala Kelvin-Skala)

9. Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala, Fahrenheit-Skala, Kelvin-Skala)

1. 50 ^° C = … ^° F ?

Lösung

Bei normalem Luftdruck liegt der Gefrierpunkt von Wasser bei 0 ^° C ( 32 ^° F). Der Siedepunkt von Wasser liegt bei normalem Luftdruck bei 100 ^° C (212 ^° F).

0 ^° C = 32 ^° F und 100 ° ^C = 212 ^° F. Eine Änderung von 5 °C ^entspricht einer Änderung von 9 ° ^F.

Bei der Celsius-Skala wird der Bereich zwischen 0 ^° C und 100 ^° C in 100 gleiche Abschnitte unterteilt. Bei der Fahrenheit-Skala wird der Bereich zwischen 0 ^° C und 100 ^° C in 180 gleiche Abschnitte unterteilt.

T ^o F = (180/100) T ^o C + 32

T ^o F = (9/5) T ^o C + 32

T ^o F = (9/5) 50 + 32

T ^o F = (9) 10 + 32

T ^o F = 90 + 32

T ^o F = 122

50 ^° C = 122 ^° F

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2. 86 ^° F = … ^° C ?

Lösung

T ^o C = (100/180)(T ^o F – 32)

T ^o C = (5/9)(T ^o F – 32)

T ^o C = (5/9)(86 – 32)

T ^o C = (5/9)(54)

T ^o C = (5)(6)

T ^o C = 30

86 ^° F = 30 ^° C

3. 50 ^° C = … K ?

Lösung

T = T ^o C + 273

T = 50 + 273

T = 323

50 ^° C = 323 K

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4. 212 ^° F = … K ?

Lösung

T ^o C = (100/180)(T ^o F – 32)

T ^o C = (5/9)(T ^o F – 32)

T ^o C = (5/9)(212 – 32)

T ^o C = (5/9)(180)

T ^o C = (5)(20)

T ^o C = 100

212 ^° F = 100 ^° C + 273

212 ^° F = 373 K

5. x ^o C = x ^o F

x = ….. ?

Lösung

1: Umrechnung der Celsius-Skala in die Fahrenheit-Skala

Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala, Fahrenheit-Skala, Kelvin-Skala) – Aufgaben und Lösungen 1

2: Umrechnung der Fahrenheit-Skala in die Celsius-Skala

Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala, Fahrenheit-Skala, Kelvin-Skala) – Aufgaben und Lösungen 2

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6. 122°F = … Celsius

Lösung

Die Umrechnung zwischen den beiden Temperaturskalen lässt sich wie folgt darstellen:

T _C= 5/9 (T _F– 32)

T _C = Temperatur in Celsius, T _F= Temperatur in Fahrenheit

Die Temperatur in Grad Celsius:

T _C= 5/9 (122 – 32) = T _C= 5/9 (90) = 5 (10)

T _C= 50 ^° C

7. Die Abbildung unten zeigt die Temperaturmessung einer Flüssigkeit mit einem Fahrenheit-Thermometer! Wenn die Temperatur der Flüssigkeit mit einem Celsius-Thermometer gemessen wird, wie hoch ist dann die Flüssigkeitstemperatur e?

Bekannt: Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala, Fahrenheit-Skala, Kelvin-Skala) – Aufgaben und Lösungen 5

Fahrenheit- Skala (T _F ) = 95 ^° F

Gesucht: Celsius-Skala

Lösung:

Bei einem Druck von 1 atm liegt der Gefrierpunkt von Wasser bei 0 °C, was 32 ^° F auf der Fahrenheit-Skala entspricht. Umgekehrt liegt der Siedepunkt von Wasser bei 100 ^° C auf der Celsius- Skala, während er 212 ^° F auf der Fahrenheit-Skala entspricht .

Auf der Celsius-Skala liegen zwischen 0 °C und 100 °C 100 °C, während auf der Fahrenheit-Skala zwischen 32 °F und 212 °F 180 °C liegen.

T _C= 100/180 (T _F– 32)

T _C= 5/9 (T _F– 32)

T _C= 5/9 ( 95 – 32)

T _C = 5/9 ( 63 )

T _C= 315/9

T _C= 35 ^° C

8. Bestimmen Sie anhand der untenstehenden Abbildung die Temperatur P auf dem Celsius-Thermometer.

Lösung

T_C = 100/180 (T_F - 32) Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala, Fahrenheit-Skala, Kelvin-Skala) – Aufgaben und Lösungen 6

T _C = 5/9 (T _F – 32)

T _C = 5/9 (104 – 32)

T _C = 5/9 (72)

T _C = 360/9

T _C = 40 ^° C

9. Wenn die Temperatur auf der Celsius-Skala wie in der untenstehenden Abbildung dargestellt ist, bestimmen Sie die Temperatur auf der Fahrenheit-Skala wie in der untenstehenden Abbildung dargestellt.

Lösung:

T^oF = (180/100) T^oC+32 Umrechnung von Temperaturskalen (Celsius-Skala, Fahrenheit-Skala, Kelvin-Skala) – Aufgaben und Lösungen 7

T ^o F = (9/5) T ^o C + 32

T ^o F = (9/5) 60 + 32

T ^o F = (9) 12 + 32

T ^o F = 108 + 32

T ^o F = 140

Hookesches Gesetz – Probleme und Lösungen

1. Die Abbildung unten zeigt ein Diagramm der Kraft (F) in Abhängigkeit von der Dehnung (x ). Bestimmen Sie die Federkonstante!

Hookesches Gesetz: Beispielaufgaben mit Lösungen 1 Lösung

Hookesches Gesetz :

k = F / x

F = Kraft (Newton)

k = Federkonstante (Newton/Meter)

x = die Längenänderung (Meter)

Federkonstante:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04

k = 500 N/m

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2. Bestimmen Sie die Federkonstante.

Hookesches Gesetz: Beispielaufgaben mit Lösungen 1

Lösung

Federkonstante:

k = F / x

k = 5 / 0.01 = 10 / 0.02 = 15 / 0.03 = 20 / 0.04

k = 500 N/m

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3. Feder A hat eine ursprüngliche Länge von 60 cm und Feder B eine ursprüngliche Länge von 90 cm. Die Federkonstante von Feder A beträgt 100 N/m, die von Feder B 200 N/m. Das Verhältnis der Längenänderung von Feder A zur Längenänderung von Feder B beträgt…

Bekannt:

Federkonstante A (k _A) = 100 N/m

Federkonstante B (k _B) = 200 N/m

Kraft auf Feder A (F _A) = F

Kraft auf Feder B (F _B) = F

Gesucht: Δl _A: Δl _B

Lösung:

Hookesches Gesetz:

Δl = F / k

Δl = Längenänderung, F = Kraft, k = Konstante

Die Längenänderung der Feder A:

Δl _A= F _A/ k _A= F / 100

Die Längenänderung der Feder B:

Δl _B= F _B/ k _B= F / 200

Das Verhältnis der Längenänderung der Feder A zur Längenänderung der Feder B:

Δl _A: Δl _B

F/100 : F/200

1/100 : 1/200

1/1 : 1/2

2: 1

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4. Eine Nylonschnur mit einer ursprünglichen Länge von 20 cm wird mit einer Kraft von 10 N gedehnt. Die Längenänderung der Schnur beträgt 2 cm. Bestimmen Sie die Größe der Kraft, wenn die Längenänderung 6 cm beträgt.

Bekannt:

Kraft (F) = 10 N

Die Längenänderung ( Δl ) = 2 cm = 0.02 m

Gesucht: die Größe der Kraft (F), wenn Δl = 0.06 m.

Lösung:

Konstante:

k = F / Δl

k = 10 / 0.02 = 500 N/m

Die Größe der Kraft (F), wenn Δl = 0.06 m:

F = kx

F = (500)(0.06)

F = 30 N.

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Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Probleme und Lösungen

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Probleme und Lösungen

1. Eine Nylonschnur mit einem Durchmesser von 2 mm wird mit einer Kraft von 100 N gezogen. Bestimmen Sie die Spannung!

Bekannt:

Kraft (F) = 100 N

Durchmesser (d) = 2 mm = 0.002 m

Radius (r) = 1 mm = 0.001 m

Gesucht: Der Stress

Lösung:

Bereich :

A = π r ²

A = (3.14)(0.001 m) ² = 0.00000314 m ²

A = 3.14 x 10 ^-6 m ²

Der Stress:

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 1

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2. Ein Seil mit einer ursprünglichen Länge von 100 cm wird durch eine Kraft gedehnt. Die Längenänderung des Seils beträgt 2 mm. Bestimmen Sie die Dehnung!

Bekannt:

Ursprüngliche Länge (l₀ ₎= 100 cm = 1 m

Die Längenänderung (Δl) beträgt 2 mm = 0.002 m.

Gesucht: Die Belastung

Lösung:

Der S- Zug:

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 2

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3. Eine Schnur mit 4 mm Durchmesser hat eine ursprüngliche Länge von 2 m. Die Schnur wird mit einer Kraft von 200 N gedehnt. Die Endlänge der Schnur beträgt 2.02 m. Bestimmen Sie: (a) die Spannung, (b) die Dehnung und (c) den Elastizitätsmodul.

Bekannt:

Durchmesser (d) = 4 mm = 0.004 m

Radius (r) = 2 mm = 0.002 m

Fläche (A) = π r ² = (3.14)(0.002 m) ²

^{Fläche (} A) = 0.00001256 m² ⁼ 12.56 × ^10⁻⁶ m²

Kraft (F) = 200 N

Ursprüngliche Länge der Feder (l₀ ₎= 2 m

Die Längenänderung (Δl) beträgt 2.02 – 2 = 0.02 m.

Gesucht: (a) Die Spannung (b) Die Dehnung (c) Der Elastizitätsmodul

Lösung:

(a) Der Stress

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 3

b) Die Belastung

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 4

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 5

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4. Eine Schnur hat einen Durchmesser von 1 cm und eine ursprüngliche Länge von 2 m. An der Schnur wird mit einer Kraft von 200 N gezogen. Bestimmen Sie die Längenänderung der Schnur! Elastizitätsmodul der Schnur = 5 × 10⁹ ^N / ^m²

Bekannt:

Elastizitätsmodul (E) = 5 x 10⁹ ^N / ^m²

Ursprüngliche Länge (l₀ ₎= 2 m

Kraft (F) = 200 N

Durchmesser (d) = 1 cm = 0.01 m

Radius (r) = 0.5 cm = 0.005 m = 5 x 10 ^-3 m

Fläche ( A) = π r² ⁼ (3.14)(5 x ^10⁻³ m) ^² = (3.14)(25 x ^10⁻⁶ m² ⁾

Fläche (A) = 78.5 x 10 ^-6 m ² = 7.85 x 10 ^-5 m ²

Gesucht : Die Längenänderung (Δl)

Lösung:

Formel für den Elastizitätsmodul:

Die Längenänderung :

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 7

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5. Ein Betonkörper mit einer Höhe von 5 Metern und einer Flächenträgheit von 3 m³ ^trägt eine Masse von 30,000 kg. Bestimmen Sie (a) die Spannung, (b) die Dehnung und (c) die Höhenänderung! Die Erdbeschleunigung (g) beträgt 10 m/s² ^. Der Elastizitätsmodul des Betons beträgt 20 × 10⁹ ^N /m²^.

Bekannt:

Elastizitätsmodul von Beton = 20 x 10⁹ ^N / ^m²

Anfangshöhe (l₀ ₎= 5 Meter

Flächeneinheit (A) = 3 ^m²

Gewicht (w) = mg = (30,000)(10) = 300,000 N

Gesucht: (a) Die Spannung (b) Die Dehnung (c) Die Höhenänderung!

Lösung:

(a) Der Stress

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 8

b) Die Belastung

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 9

Spannung, Dehnung, Elastizitätsmodul – Beispielaufgaben mit Lösungen 10

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Zentripetalbeschleunigung – Probleme und Lösungen

1. Eine Kugel, die an einem horizontalen Seil befestigt ist, rotiert auf einem Kreis mit Radius 20 cm. Die Kugel dreht sich jede Sekunde um 360 ^° . Bestimmen Sie die Größe der Zentripetalbeschleunigung!

Bekannt:

Winkelgeschwindigkeit (ω ) = 360 ^° /Sekunde = 1 Umdrehung/Sekunde = 6.28 Radiant/Sekunde

Radius (r) = 20 cm = 0,2 m

Gesucht: Zentripetalbeschleunigung (a _r )

Lösung:

a _r= v ² / r —> v = r ω

a _r= (r ω) ² / r = r ² ω ² / r

a _r= r ω ²

a _s = Zentripetalbeschleunigung, v = Bahngeschwindigkeit, r = Radius, ω = Winkelgeschwindigkeit

Die Größe der Zentripetalbeschleunigung :

a _r = r ω ² a _r= (0,2 m)( 6.28 rad/s)

a _r= 1.256 m/ ^s²

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2. Ein Rad mit einem Radius von 30 cm rotiert mit einer Drehzahl von 180 Umdrehungen pro Minute. Bestimmen Sie die Zentripetalbeschleunigung eines Punktes am Rand des Rades!

Bekannt:

Radius (r) = 30 cm = 0.3 m

Winkelgeschwindigkeit ( ω ) = 180 Umdrehungen / 60 Sekunden = 3 Umdrehungen / Sekunde = (3)(6.28 Radiant) / Sekunde = 18.84 Radiant/Sekunde

Gesucht: Zentripetalbeschleunigung ( a _r) bei r = 0.3 m

Lösung:

Die Größe der Zentripetalbeschleunigung:

a _r = r ω ²

a _r= (0.3 m)(18.84 rad/s)

a _r= 5.65 m/ ^s²

3. Ein Rennwagen fährt auf einer kreisförmigen Bahn mit einem Radius von 50 Metern. Wenn die Geschwindigkeit des Wagens 72 km/h beträgt, bestimmen Sie die Größe der Zentripetalbeschleunigung!

Bekannt:

Radius (r) = 50 Meter

Geschwindigkeit (v) = 72 km/h = (72)(1000 Meter) / 3600 Sekunden = 20 Meter/Sekunde

Gesucht : die Größe der Zentripetalbeschleunigung (a _r)

Lösung:

a _r = v ² / r = 20 ² / 50 = 400 / 50 = 8 m/s ²

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4. Ein Auto hat eine maximale Zentripetalbeschleunigung von 10 m/s² ^, sodass es eine Kurve durchfahren kann, ohne von der Fahrspur abzukommen. Wenn das Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit von 108 km/h fährt, wie groß ist der Radius der Kurve ohne Überhöhung?

Bekannt:

Zentripetalbeschleunigung (a _r) = 10 m/s ²

Geschwindigkeit des Autos (v) = 108 km/ h = (108)(1000) / 3600 = 30 Meter s / Sekunde c on d

Gesucht: Radius (r)

Lösung:

r = v ² / a _r

r = 30 ² / 10 = 900 / 10 = 90 Meter s

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Winkelbeschleunigung und lineare Beschleunigung – Aufgaben und Lösungen

1. Ein Rad mit einem Radius von 30 cm rotiert mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 5 rad/s² ^. Wie groß ist die lineare Beschleunigung eines Punktes, der sich (a) 10 cm vom Mittelpunkt entfernt befindet, (b) 20 cm vom Mittelpunkt entfernt befindet oder (c) am Rand des Rades liegt?

Bekannt:

Radius (r) = 30 cm = 0.3 m

Winkelbeschleunigung ( α ) = 5 rad/s ²

Gesucht: Lineare Beschleunigung (a) r = 0.1 m (b) r = 0.2 m (c) r = 0.3 m

Lösung:

Beziehung zwischen linearer Beschleunigung (a) und Winkelbeschleunigung:

a = r α

(a) lineare Beschleunigung, r = 0.1 m

a = (0.1 m)(5 rad/s² ⁾ = 0.5 m/ ^s²

(b) lineare Beschleunigung, r = 0.2 m

a = (0.2 m)(5 rad/s² ⁾ = 1 m/ ^s²

a = (0.3 m)(5 rad/s² ⁾ = 1.5 m/ ^s²

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2. Eine Rolle mit einem Radius von 50 cm. Wenn die lineare Beschleunigung eines Punktes am Rand der Rolle 2 m/s² beträgt ^, bestimmen Sie die Winkelbeschleunigung der Rolle!

Bekannt:

Radius (r) = 50 cm = 0,5 m

lineare Beschleunigung (a) = 2 m/ ^s²

Gesucht: die Winkelbeschleunigung

Lösung:

α = a / r = 2 / 0.5 = 4 rad/s ²

3. Die Klingen eines Mixers mit einem Radius von 20 cm befinden sich anfangs in Ruhe. Nach 2 Sekunden rotieren die Klingen mit 10 rad/s. Bestimmen Sie die Größe der linearen Beschleunigung (a) an einem Punkt, der 10 cm vom Mittelpunkt entfernt ist, und (b) an einem Punkt am Rand der Klingen.

Bekannt:

Radius (r) = 20 cm = 0.2 m

_{Die anfängliche}Winkelgeschwindigkeit ( ωo ) = 0

Die endgültige Winkelgeschwindigkeit ( ω _{t )}= 10 rad/s

Zeitintervall (t) = 2 Sekunden

Gesucht: die lineare Beschleunigung eines Punktes bei (a) r = 0.1 m (b) r = 0.2 m

Lösung:

ω _t = ω _o+ α t

10 = 0 + α (2)

10 = 2 α

α = 10 / 2

α = 5 rad/s

(a) lineare Beschleunigung von r = 0.1 m

a = r α = (0.1 m)(5 rad/s ² ) = 0.5 m/s ²

(b) lineare Beschleunigung von r = 0.2 m

a = r α = (0.2 m)(5 rad/s ² ) = 1 m/s ²

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4. Ein Rad mit Radius 20 cm wird innerhalb von 2 Sekunden von 20 rad/s² auf Stillstand beschleunigt. Bestimmen Sie die Größe der linearen Beschleunigung (a) an einem Punkt, der 10 cm vom Mittelpunkt entfernt ist, und (b) an einem Punkt, der 10 cm vom Mittelpunkt entfernt ist.

Bekannt:

Radius (r) = 20 cm = 0.2 m

Die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ( ω _o) = 20 rad/s

_{Die endgültige Winkelgeschwindigkeit}( ωt ) = 0

Zeitintervall (t) = 2 Sekunden

Gesucht: Die lineare Beschleunigung (a) r = 0.1 m (b) r = 0.2 m

Lösung:

ω _t= ω _o+ α t

0 = 20 + α (2)

-20 = 2 α

α = -20 / 2

α = -10 rad/s

Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit abnimmt.

(a) lineare Beschleunigung von r = 0.1 m

a = r α = (0.1 m)(-10 rad/s ² ) = -1 m/s ²

(b) lineare Beschleunigung von r = 0.2 m

a = r α = (0.2 m)(-10 rad/s ² ) = -2 m/s ²

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Winkelgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit – Aufgaben und Lösungen

1. Eine Kugel an einem Faden rotiert gleichförmig auf einem horizontalen Kreis mit Radius 2 Metern und konstanter Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s. Bestimmen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit eines Punktes, der sich an folgender Stelle befindet:

(a) 0.5 Meter vom Zentrum entfernt

b) 1 Meter vom Zentrum entfernt

c) 2 Meter vom Zentrum entfernt

Bekannt:

Radius (r) = 0.5 Meter , 1 Meter, 3 Meter

Die Winkelgeschwindigkeit = 10 Radiant s /s cond

Gesucht: Die lineare Geschwindigkeit

Lösung:

v = r ω

v = die lineare Geschwindigkeit , r = Radius , ω = die Winkelgeschwindigkeit

(a) Die lineare Geschwindigkeit (v) eines Punktes bei r = 0.5 Metern

v = r ω = (0.5 Meter s )(10 rad/s) = 5 Meter s /s cond

b) Die lineare Geschwindigkeit (v) eines Punktes bei r = 1 Meter

v = r ω = (1 Meter)(10 rad/s) = 10 Meter s /s cond

v = r ω = (2 Meter s )(10 rad/s) = 20 Meter s /s cond

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2. Die Klingen eines Mixers rotieren mit einer Drehzahl von 5000 U/min. Bestimmen Sie die Größe der linearen Geschwindigkeit:

(a) ein Punkt, der 5 cm vom Zentrum entfernt liegt

b) ein Punkt, der 10 cm vom Zentrum entfernt liegt

Bekannt:

Radius (r) = 5 cm und 10 cm

Die Winkelgeschwindigkeit (ω) = 5000 Revolutionen / 60 sSekunden = 83.3 Revolutionen / second = (83.3)(6.28 Radiant) / second = 523.3 Radiants / second

Gesucht: Die Größe der linearen Geschwindigkeit

Lösung:

(a) Der Betrag der linearen Geschwindigkeit eines Punktes, der sich 0.05 m vom Zentrum entfernt befindet

v = r ω = (0.05 m)( 523.3 rad/s) = 26 m/s

b) Der Betrag der linearen Geschwindigkeit eines Punktes, der sich 0,1 m vom Zentrum entfernt befindet

v = r ω = (0.1 m)( 523.3 rad/s) = 52 m/s

3. Ein Punkt am Rand eines Rades mit einem Radius von 30 cm , das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10 Metern pro Sekunde auf einem Kreis bewegt.

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit?

Bekannt:

Radius ( r ) = 30 cm = 0.3 Meter s

Die lineare Geschwindigkeit (v) = 10 Meter s / Sekunde cond

Gesucht: die Winkelgeschwindigkeit

Lösung:

ω = v / r = 10 / 0.3 = 33 Radiant s /s cond

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4. Ein Auto mit Reifen von 50 cm Durchmesser legt in 1 Sekunde 10 Meter zurück. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit?

Bekannt:

Radius (r) = 0.25 Meter

Die lineare Geschwindigkeit eines Punktes am Rand der Reifen (v) = 10 Meter s / Sekunde

Gesucht: Die Winkelgeschwindigkeit

Lösung:

ω = v / r = 10 / 0.25 = 40 Radiant s /s cond

5. Die Winkelgeschwindigkeit des Rades mit einem Radius von 20 cm beträgt 120 Umdrehungen pro Minute (rpm). Welche Strecke legt das Auto in 10 Sekunden zurück?

Bekannt:

Radius (r) = 20 cm = 0.2 Meter s

Die Winkelgeschwindigkeit = 120 Umdrehung / 60 seBedingungen = 2 Umdrehung / second = (2)(6.28) Radiants / second = 12.56 Radiants / second

Gesucht: Entfernung

Lösung:

Geschwindigkeit der Radkante:

v = r ω = (0.2 Meter s )(12.56 Radiant s /se cond ) = 2.5 Meter s /se cond

2.5 ms / se„cond“ bezeichnet einen Punkt am Rand des Radwegs 2.5 ms jede Sekunde. Nach 10 seBedingungen, der Punkt bewegt sich 25 ms.

Die Entfernung beträgt also 25 Meter.

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Winkelverschiebung und lineare Verschiebung – Probleme und Lösungen

Umrechnung von Winkeleinheiten (Grad, Radiant, Umdrehung)

1. ¼ Umdrehung = ….. ^o ( Grad ) ?

Lösung

1 Umdrehung = 360 ^°

½ Umdrehung = 180 ^°

¼ Umdrehung = 90 ^°

2. ½ Umdrehung = …….. Rad?

Lösung

1 Umdrehung = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad

½ Umdrehung = π rad = 3.14 rad

3. 180 ^° = ….. Umdrehung ?

Lösung

360 ^° = 1 Umdrehung

180 ^° = ½ Umdrehung

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4. 90 ^° = … rad ?

Lösung

360 ^o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad

180 ^° = π rad = 3.14 rad

90 ^o = ½ π rad = ½ (3.14) = 1.57

5. 60 rad = ….. Umdrehungen?

Lösung

6.28 rad = 1 Umdrehung

60 rad/6.28 = 9.55 Umdrehungen

6. 40 rad = … ^o?

Lösung

6.28 rad = 360 ^°

40 rad/6.28 = (6.37)(360 ^o ) = 2292.99 ^o

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Winkelverschiebung und lineare Verschiebung

1. Ein Fahrradrad mit einem Durchmesser von 60 cm dreht sich um 10 Radiant. Wie groß ist die lineare Verschiebung eines Punktes am Rand des Rades?

Bekannt:

Radius (r) = 30 cm = 0.3 m

Winkel (θ ) = 10 Radiant

Gesucht: lineare Verschiebung (l)

Lösung:

l = r θ

l = (0.3 m)(10 rad)

l = 3 Meter

2. Ein Rad mit einem Radius von 50 cm dreht sich um 360 ^° . Wie groß ist die lineare Verschiebung eines Punktes am Rand des Rades?

Bekannt:

Radius (r) = 50 cm = 0.5 Meter

Winkel ( θ ) = 360 ^o = 6.28 Radiant

Gesucht: lineare Verschiebung (l)

Lösung:

l = r θ

l = (0.5 m)(6.28 rad)

l = 3.14 Meter

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3. Ein Rad mit einem Radius von 50 cm dreht sich 2 Mal. Wie groß ist die lineare Verschiebung eines Punktes am Rand des Rades?

Bekannt:

Radius (r) = 50 cm = 0,5 m

Winkel ( θ ) = 2 Umdrehungen = (2)(6.28 Radiant) = 12.56 Radiant

Gesucht: lineare Verschiebung (l) ?

Lösung:

l = r θ

l = (0.5 m)(12.56 rad)

l = 6.28 m

4. Ein Punkt am Rand eines Rades mit einem Radius von 2 Metern bewegt sich um 100 Meter. Bestimmen Sie die Winkelverschiebung.

Bekannt:

Radius (r) = ½ (Durchmesser) = ½ (2 Meter) = 1 Meter

Lineare Verschiebung (l) = 100 Meter

Lösung:

(a) Winkelverschiebung (im Bogenmaß)

θ = s / r = 100 / 1 = 100 Radiant

b) Winkelverschiebung (in Grad)

1 Radiant = 360 ^°

100 Radiant = 100(360 ^° ) = 36,000 Radiant

6.28 Radiant = 1 Umdrehung

36,000 / 6.28 = 5732,484 Umdrehungen

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5. Ein Teilchen durchläuft einen Kreis mit einem Radius von 10 Metern und dreht sich dabei um 180 ^° . Wie groß ist der Radius?

Bekannt:

Lineare Verschiebung (l) = 10 Meter

Winkel ( θ ) = 180 ^o = 3.14 Radiant

Gesucht: Radius (r)

Lösung:

r = l / θ = 10 / 3.14 = 3.18 Meter

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Ungleichförmige Kreisbewegung – Probleme und Lösungen

1. Ein Rad mit einem Radius von 1 Meter beschleunigt gleichmäßig mit 2 rad/s² ^. Bestimmen Sie die Winkelbeschleunigung und die Winkelgeschwindigkeit des Rades 2 Sekunden später.

Bekannt:

Radius (r) = 1 Meter

Winkelbeschleunigung (α ) = 2 rad/ ^s²

Gesucht: Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit nach 2 Sekunden.

Lösung:

(a) Winkelbeschleunigung in 2 Sekunden

Die Winkelbeschleunigung ist konstant, daher beträgt die Winkelbeschleunigung des Rades nach 2 Sekunden 2 rad/ ^s².

b) Winkelgeschwindigkeit in 2 Sekunden

Eine Winkelbeschleunigung von 2 rad/s² ^bedeutet , dass die Winkelgeschwindigkeit jede Sekunde um 2 Radiant/Sekunde zunimmt. Nach einer Sekunde beträgt die Winkelgeschwindigkeit 2 Radiant/Sekunde. Nach zwei Sekunden beträgt sie 4 Radiant/Sekunde.

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2. Ein Teilchen wird aus dem Stillstand gleichmäßig auf 60 Umdrehungen pro Minute in 10 Sekunden beschleunigt. Bestimmen Sie den Betrag der Winkelbeschleunigung!

Bekannt:

Die anfängliche Winkelgeschwindigkeit (ω _o) = 0

Die endgültige Winkelgeschwindigkeit ( ωt ₎= 60 U/min = 60 Umdrehungen / 60 Sekunden = 1 Umdrehung / Sekunde = 6,28 Radiant/Sekunde

Zeitintervall (t) = 10 Sekunden

Gesucht: Winkelbeschleunigung ( α )

Lösung:

Ungleichförmige Kreisbewegungen – Probleme und Lösungen 1

ω _o= die Anfangswinkelgeschwindigkeit, ω _t= die Endwinkelgeschwindigkeit, α = die Winkelbeschleunigung, t = Zeitintervall, θ = Winkel.

ω _t= ω _o + α t

6.28 = 0 + α (10)

6.28 = 10 α

α = 6.28 / 10

α = 0.628 rad/ ^s²

Der Betrag der Winkelbeschleunigung beträgt 0.628 rad/ ^s²

3. Ein Objekt bremst innerhalb von 4 Sekunden von 20 rad/s auf 10 rad/s ab. Bestimmen Sie die Größe der Winkelbeschleunigung!

Bekannt:

Zeitintervall (t) = 4 Sekunden

Die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ( ω _o) = 20 rad/s

Die endgültige Winkelgeschwindigkeit ( ω _t) = 10 rad/s

Gesucht : die Größe der Winkelbeschleunigung (α )

Lösung:

ω _t= ω _o+ α t

10 = 20 + α (4)

10 – 20 = 4 α

-10 = 4 α

α = -10 / 4

α = – 2.5 rad/s ²

Die Winkelbeschleunigung beträgt -2.5 rad/s² ^. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das Objekt abgebremst wird. Beschleunigung = Zunahme der Winkelgeschwindigkeit, Verzögerung = Abnahme der Winkelgeschwindigkeit.

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^{4. Ein Objekt wird 2 Sekunden lang von 10 rad/s auf 2 rad/ s²} beschleunigt . Bestimmen Sie den vom Objekt durchlaufenen Winkel!

Bekannt:

die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ( ω _o) = 10 rad/s

die Winkelbeschleunigung (α ) = 2 rad/s ²

Zeitintervall (t) = 2 Sekunden

Gesucht: Winkel (θ)

Lösung:

θ = ω _o+ ½ α t ²

θ = (10)(2) + ½ (2)(2 ² )

θ = 20 + (1)(4) = 20 + 4

θ = 24 Radiant

5. Ein Autorad bremst nach einer Drehung um 20 Radiant von 20 rad/s auf Stillstand ab. Bestimmen Sie die Größe der Winkelbeschleunigung des Rades!

Bekannt:

die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ( ω _o) = 20 rad/s

_{die endgültige Winkelgeschwindigkeit}( ωt ) = 0

Winkel ( θ ) = 20 Radiant

Gesucht: die Größe der Winkelbeschleunigung (α )

Lösung:

ω _t² = ω _o² + 2 α θ

0 = 20 ² + 2 α (20)

0 = 400 + 40 α

400 = – 40 α

α = – 400 / 40

α = – 10 rad/s ²

6. Ein Stab PQ mit einer Länge von 60 cm rotiert um den Punkt Q als Rotationsachse und PQ als Radius des Kreises. Der Stab PQ wird aus dem Stillstand mit 0.3 rad/s² beschleunigt ^. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit des Punktes P zum Zeitpunkt t = 10 Sekunden, wenn die Anfangswinkelposition 0° beträgt?

Bekannt:

Länge des Stabes PQ = Radius des Kreises (r) = 60 cm = 60/100 m = 0.60 m

Die anfängliche Winkelgeschwindigkeit (ω _o ) = 0 rad/s

Winkelbeschleunigung (α) = 0.3 rad s ^-2

Die anfängliche Winkelposition (θ _o ) = 0

Gesucht: Lineare Geschwindigkeit (v) des Punktes P zum Zeitpunkt t = 10 Sekunden

Lösung:

Die endgültige Winkelgeschwindigkeit nach 10 Sekunden:

ω _t = ω _o + α t = 0 rad/s + (0.3 rad s ^-2 )(10 s) = 3 rad/s

Die endgültige lineare Geschwindigkeit nach 10 Sekunden:

v = r ω = (0.6 m)(3 rad/s) = 1.8 m/s

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7. Ein Objekt rotiert mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 4 rad/s und einer Winkelbeschleunigung von 0.5 rad/s² ^. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Objekts nach 4 Sekunden?

Bekannt:

Die anfängliche Winkelgeschwindigkeit (ω _o ) = 4 rad/s

Winkelbeschleunigung (α) = 0.5 rad/ ^s²

Zeitintervall (t) = 4 Sekunden

Gesucht: Geschwindigkeit des Objekts nach 4 Sekunden (ω _t )

Lösung:

ω _t = ω _o + α t

ω _t = 4 + (0.5)(4)

ω _t = 4 + 2

ω _t = 6 rad/s

8. Eine Wanduhr mit einem Durchmesser von 10 cm hat drei Zeiger, die jeweils die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigen. Vergleich der Umdrehungen des Stundenzeigers: des Minutenzeigers: des Sekundenzeigers.

A. 1 : 3 : 180

B. 1 : 12 : 720

C. 4 : 12 : 180

D. 4 : 12 : 720

Bekannt:

1 Stunde = 60 Minuten

12 Stunden = (12)(60 Minuten) = 720 Minuten

Winkelgeschwindigkeit des Stundenzeigers = 1 Umdrehung / 12 Stunden = 1 Umdrehung / 720 Minuten

Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers = 1 Umdrehung / 1 Stunde = 1 Umdrehung / 60 Minuten

Winkelgeschwindigkeit der zweiten Nadel = 1 Umdrehung / 1 Minute

Gesucht: Vergleich der Umdrehungen des Stundenzeigers: des Minutenzeigers: des Sekundenzeigers

Lösung:

Die Gleichung der Kreisbewegung:

Winkelgeschwindigkeit = Anzahl der Umdrehungen / Zeitintervall

Anzahl der Umdrehungen = Winkelgeschwindigkeit x Zeitintervall

Im gleichen Zeitintervall, beispielsweise 1 Minute, wie viele Umdrehungen macht der Stundenzeiger, der Minutenzeiger und der Sekundenzeiger?

Anzahl der Umdrehungen des Stundenzeigers = Winkelgeschwindigkeit x Zeitintervall = (1 Umdrehung / 720 Minuten)(1 Minute) = 1/720 Umdrehungen

Anzahl der Umdrehungen des Minutenzeigers = Winkelgeschwindigkeit x Zeitintervall = (1 Umdrehung / 60 Minuten)(1 Minute) = 1/60 Umdrehungen

Anzahl der Umdrehungen der zweiten Nadel = Winkelgeschwindigkeit x Zeitintervall = (1 Umdrehung / 1 Minute) × 1 Minute = 1/1 Umdrehung

Vergleich der Anzahl der Umdrehungen:

Anzahl der Umdrehungen des Stundenzeigers: Anzahl der Umdrehungen des Minutenzeigers: Anzahl der Umdrehungen des Sekundenzeigers.

1/720 : 1/60 : 1/1

1/720 : 12/720 : 720/720

1: 12: 720

Die richtige Antwort ist B.

9. Ein an einem Seil befestigter Ball. Der Ball wird so gedreht, dass er sich in einer Kreisbahn parallel zur Erdoberfläche bewegt. Bei dieser Bewegung beschleunigt der Ball, weil…

A. Luftreibung

B. Gewicht der Kugel

C. Zugkraft

D. Schwerkraft

Lösung:

Newtons zweites Bewegungsgesetz besagt, dass ein Objekt beschleunigt wird, wenn eine resultierende Kraft wirkt. Der Ball ist mit dem Seil verbunden, und wenn sich das Seil dreht, dreht sich auch der Ball. Bei dieser Rotation (Kreisbewegung) erfährt der Ball eine Zentripetalbeschleunigung. Alle sich bewegenden Objekte erfahren eine Kreisbeschleunigung. Diese Zentripetalbeschleunigung wird durch die Zentripetalkraft verursacht . In diesem Fall ist die Zentripetalkraft die Seilspannung.

Die richtige Antwort ist C.

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Gleichförmige Kreisbewegung – Probleme und Lösungen

1. Ein Objekt bewegt sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s auf einer Kreisbahn. Bestimmen Sie (a) die Winkelgeschwindigkeit nach 10 Sekunden und (b) den Winkelweg nach 10 Sekunden.

Bekannt:

Winkelgeschwindigkeit (ω) = 10 rad/s

Gesucht :

(a) Winkelgeschwindigkeit (ω) nach 10 Sekunden.

b) Winkel (θ) nach 10 Sekunden

Lösung:

(a) Winkelgeschwindigkeit (ω) nach 10 Sekunden

Ein Objekt führt eine gleichförmige Kreisbewegung aus , sodass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist und 10 rad/s beträgt.

(b) Winkelverschiebung (θ)

Eine konstante Winkelgeschwindigkeit von 10 Radiant/Sekunde bedeutet, dass sich das Objekt mit etwa 10 Radiant pro Sekunde bewegt. Nach 10 Sekunden beträgt die Winkelgeschwindigkeit des Objekts 10 × 10 Radiant = 100 Radiant.

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2. Ein Teilchen bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10 m/s auf einer Kreisbahn. Der Radius des Kreises beträgt 1 Meter. Bestimmen Sie (a) die Geschwindigkeit des Teilchens nach 5 Sekunden, (b) die Verschiebung des Teilchens nach 5 Sekunden und (c) die Zentripetalbeschleunigung.

Bekannt:

Radius des Kreises (r) = 1 Meter

Geschwindigkeit des Teilchens (v) = 10 m/s

Lösung:

(a) Geschwindigkeit des Teilchens nach 5 Sekunden

Die Bewegung des Objekts ist eine gleichförmige Kreisbewegung, sodass die Geschwindigkeit konstant 10 m/s beträgt.

b) Verschiebung des Teilchens nach 5 Sekunden

10 Meter pro Sekunde bedeutet, dass sich das Teilchen jede Sekunde um 10 Meter bewegt. Nach 5 Sekunden beträgt die Verschiebung des Teilchens 5 × 10 Meter = 50 Meter.

a _r= v ² / r = 10 ² / 1 = 100 / 1 = 100 m/s ²

3. Eine Kugel, die an einem Ende einer Schnur befestigt ist, rotiert mit einer konstanten Drehzahl von 60 Umdrehungen pro Minute auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 2 Metern. Bestimmen Sie (a) den Betrag der Winkelgeschwindigkeit nach 2 Sekunden und (b) den Winkelausschlag nach 1 Minute.

Bekannt:

Radius des Kreises (r) = 2 Meter

Winkelgeschwindigkeit (ω) = 60 U/min = 60 Umdrehungen / 1 Minute

= 60 Umdrehungen / 60 Sekunden = 1 Umdrehung / Sekunde = 2π Radiant / Sekunde

= 2(3.14) Radiant/Sekunde = 6.28 Radiant/Sekunde

Lösung:

(a) Winkelgeschwindigkeit (ω) nach 2 Sekunden

Die Winkelgeschwindigkeit ist konstant, daher beträgt sie nach 2 Sekunden (ω) = 6.28 Radiant/Sekunde.

(b) Winkelverschiebung (θ)

Die Winkelgeschwindigkeit beträgt 1 Umdrehung pro Sekunde, was bedeutet, dass der Ball jede Sekunde eine Umdrehung ausführt. Nach 60 Sekunden hat der Ball 60 Umdrehungen gemacht.

Die Winkelgeschwindigkeit von 6.28 Radiant pro Sekunde bedeutet, dass sich der Ball jede Sekunde um einen Winkel von 6.28 Radiant bewegt. Nach 60 Sekunden hat der Ball eine Strecke von 376.8 Radiant zurückgelegt.

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4. Ein Fahrradrad dreht sich in 60 Sekunden 120 Mal. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit?

Lösung:

(a) Umdrehungen pro Minute (U/min)

120 Umdrehungen / 60 Sekunden = 120 Umdrehungen / 1 Minute = 120 Umdrehungen / Minute = 120 U/min

b) Grad pro Sekunde ( ^° /s)

1 Umdrehung = 360 ^° , 120 Umdrehungen = 43200 ^°

120 Umdrehungen / 60 Sekunden = (120)(360 ^° ) / 60 Sekunden = 43200 ^° / 60 Sekunden = 720 ^° /Sekunde

1 Umdrehung = 6.28 Radiant

120 Umdrehungen / 60 Sekunden = (120)(6.28) Radiant / 60 Sekunden = 753.6 Radiant / 60 Sekunden = 12.56 Radiant/Sekunde.

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Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung – Aufgaben und Lösungen

1. Eine Kugel mit einer Masse von 0,1 kg, die an einem horizontalen Seil befestigt ist, rotiert auf einem Kreis mit Radius 50 cm. Die Winkelgeschwindigkeit der Kugel beträgt 4 rad/s ^. Wie groß ist die Zentripetalkraft?

Bekannt: Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung – Aufgaben und Lösungen 1

Masse (m) = 100 Gramm = 100/1000 kg = 1/10 kg = 0.1 kg

Winkelgeschwindigkeit ( ω) = 4 Radiant/ Sekunde

Radius (r) = 50 cm = 50/100 m = 0.5 m

Gesucht: Zentripetalkraft

Lösung:

Die Zentripetalkraft ist die resultierende Kraft, die eine Zentripetalbeschleunigung erzeugt :

∑ F = ma _r

∑ F = mv ² /r = m ω ² r

∑ F = Nettokraft = Zentripetalkraft , m = Masse , v = Geschwindigkeit , ω = Winkelgeschwindigkeit , r = Radius

∑ F = m ω ² r = (0.1)(4) ² (0.5) = (0.1)(16)(0,5) = 0.8 Newton

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2. Ein Ball rotiert gleichförmig auf einer horizontalen Kreisbahn. Wenn sich seine Geschwindigkeit auf das Vierfache des Anfangswertes ändert, wie groß ist dann die Zentripetalkraft?

Bekannt: Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung – Aufgaben und Lösungen 2

Masse = m

Geschwindigkeit = v

Anfangsgeschwindigkeit = v _o

Radius (r) = r

Gesucht: Größe der Zentripetalkraft

Lösung:

Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung – Aufgaben und Lösungen 3

3. Eine überhöhte Kurve mit Radius R ist so konstruiert, dass ein Auto, das mit einer Geschwindigkeit von 12 m/ ^s fährt , die Kurve sicher durchfahren kann. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Auto und Straße beträgt 0.4. Wie groß ist der Radius R? Die Erdbeschleunigung ( g ) beträgt 10 m/ ^s².

Bekannt:

Geschwindigkeit (v) = 12 m/s

Haftreibungskoeffizient ( μs ₎= 0.4

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gesucht: Radius (R)

Lösung:

Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung – Aufgaben und Lösungen 1

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