3 Aufgaben und Lösungen zur Trägheitsmomentgleichung
1. Ein massiver Zylinder hat einen Radius von 8 cm und eine Masse von 2 kg. Eine massive Kugel hat einen Radius von 5 cm und eine Masse von 4 kg. Wenn sich die beiden Körper um eine Achse durch ihren Mittelpunkt drehen, bestimmen Sie das Verhältnis der Trägheitsmomente von Zylinder und Kugel.
Bekannt:
Radius (r) des Vollzylinders = 8 cm = 0.08 m
Masse des Vollzylinders (m) = 2 kg
Radius (r) der Vollkugel = 5 cm = 0.05 m
Die Masse der Vollkugel (m) beträgt 4 kg
Gesucht: Vergleich des Trägheitsmoments eines Zylinders und einer Kugel
Lösung:
Die Formel für das Trägheitsmoment eines Vollzylinders:
I = ½ MR2 = ½ (2)(0,08)2 = 0,0064
Die Formel für das Trägheitsmoment einer Vollkugel:
I = 2/5 MR2 = 1/5 (4)(0,05)2 = (0,8)(0,0025) = 0,002
Vergleich der Trägheitsmomente von Zylinder und Kugel:
0,0064: 0,002
3,2: 1
2. Die Keksdose wurde als Spielzeug verwendet. Ihre Masse beträgt 200 Gramm und ihr Radius 15 cm. Die Dose wird auf einem ebenen Boden gerollt. Deckel und Boden der Dose werden vernachlässigt. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Dose.
Bekannt:
Die Dose ähnelt einem hohlen Zylinder.
Masse (m) = 200 Gramm = 0.2 kg
Radius (r) = 15 cm = 0.15 m
Gesucht:
Lösung:
Die Formel für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders um die Achse:
I = MR2 = (0,2)(0,15)2 = (0,2)(0,0225) = 0,0045 kg m2
3. Eine Scheibe, die sich frei um eine vertikale Achse drehen kann, erreicht eine Drehzahl von 80 Umdrehungen pro Minute. Wird ein kleiner Gegenstand mit einer Masse von 4 × 10⁻² kg 5 cm von der Achse entfernt an der Scheibe befestigt, beträgt die Drehzahl 60 Umdrehungen pro Minute. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Scheibe.
Bekannt:
Anfangswinkelgeschwindigkeit (ωo) = 80 Put / 60 S = 4/3 Put/S
Anfangsträgheitsmoment (Io) = Ich
Endgültige Winkelgeschwindigkeit (ωt) = 60 Puts / 60 Sekunden = 1 Put/Sekunde
Endmoment der Trägheit (It) = I + mr2 = I + (0.04)(0.05)2 = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
Gesucht: Trägheitsmoment der Scheibe
Lösung:
Das Gesetz der Drehimpulserhaltung
Ich ωo = I ωt
I (4/3) = I + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 kg m2
