Kollision und Erhaltung der mechanischen Energie – Sonden und Lösungen

Kollision und Erhaltung der mechanischen Energie – Sonden und Lösungen

Zwei Objekte mit der gleichen Masse m₁ = m₂ _{= 0.5 kg werden aus der gleichen Höhe fallen gelassen (siehe Abbildung )} . Der Radius des Kreises beträgt 1/5 m. Der Stoß ist vollkommen elastisch. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit jedes Objekts nach dem Stoß. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ ^s².

Bekannt:

Masse des Objekts (m) = m₁ = m₂ = 0.5 kg

Anfangshöhe (h ₁ ) = 1/5 m

Endhöhe (h ₂ ) = 0 ( Basis des Pfades )

Anfangsgeschwindigkeit des Objekts (v ₁ ) = 0 ( Objekt befindet sich anfänglich in Ruhe )

Endgeschwindigkeit des Objekts (v ₂ ) = …. ( Geschwindigkeit des Objekts am Bahnende = Geschwindigkeit des Objekts vor dem Zusammenstoß )

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/s

Gesucht: Geschwindigkeit jedes Objekts nach der Kollision

Lösung:

Geschwindigkeit der Objekte vor dem Zusammenstoß

Geschwindigkeit des Objekts vor dem Zusammenstoß = Geschwindigkeit des Objekts beim Erreichen des Endpunkts der Bahn = Endgeschwindigkeit des Objekts.

Anfangsenergie = Endenergie​

Die potenzielle Energie im Gravitationsfeld plus die kinetische Energie = die potenzielle Energie im Gravitationsfeld plus die kinetische Energie

mgh₁ + ^1/2 _mv₁² = _mgh₂ + _1/2 ^mv₂²_​

mgh ₁ + 0 = 0 + 1/2 mv ₂ ²

mgh ₁ = 1/2 mv ₂ ²

gh ₁ = 1/2 v ₂ ²

2 gh ₁ = v ₂ ²

2(10)(1/5) = v ₂ ²

2(2) = v ₂ ²

4 = v ₂ ²

v² = √4_​

v ₂ = 2 m/s

Die Geschwindigkeit jedes Objekts vor dem Zusammenstoß beträgt 2 m/s.

Die Geschwindigkeit der Objekte nach dem Zusammenstoß

Wenn beide Objekte die gleiche Masse haben und sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen, ändert sich bei einem Zusammenstoß ihre Geschwindigkeit. Bewegt sich beispielsweise Objekt A vor dem Zusammenstoß mit 2 m/s und Objekt B mit -4 m/s, so bewegt sich Objekt A nach dem Zusammenstoß mit 4 m/s und Objekt B mit -2 m/s. Minus- und Pluszeichen zeigen an, dass sich die Objekte in unterschiedliche Richtungen bewegen.

2. Objekt A mit einer Masse von 2 kg und Objekt B mit einer Masse von 3 kg werden aus der in der Abbildung unten gezeigten Höhe fallen gelassen. Beide Objekte stoßen im Punkt C zusammen. Der Stoß ist vollkommen elastisch. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² ^. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit von Objekt A und die Geschwindigkeit von Objekt B nach dem Stoß.

Bekannt:

Masse des Objekts A (m₁) = 2 kg

Masse des Objekts B (m² ₎ = 3 kg

Anfangshöhe (h ₁ ) = 5 Meter

Endhöhe (h ₂ ) = 0 ( Basis des Pfades )

Anfangsgeschwindigkeit des Objekts (v ₁ ) = 0 ( Objekt befindet sich anfänglich in Ruhe )

Endgeschwindigkeit des Objekts (v ₂ ) = …. ( Geschwindigkeit am Bahnende = Geschwindigkeit vor dem Zusammenstoß )

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/s

Gesucht: Geschwindigkeit jedes Objekts nach der Kollision

Lösung:

Geschwindigkeit der Objekte vor dem Zusammenstoß

Geschwindigkeit des Objekts vor dem Zusammenstoß = Geschwindigkeit des Objekts am Bahnanfang

Die anfängliche mechanische Energie entspricht der endgültigen mechanischen Energie.

Die potenzielle Energie im Gravitationsfeld entspricht der kinetischen Energie .

mgh ₁ = 1/2 mv ₂ ²

gh ₁ = 1/2 v ₂ ²

2 gh ₁ = v ₂ ²

2(10)(5) = v ₂ ²

100 = v ₂ ²

v² = √100_​

v ₂ = 10 m/s

Geschwindigkeit jedes Objekts vor dem Zusammenstoß = 10 m/s.

Geschwindigkeit der Objekte nach dem Zusammenstoß

Beide Objekte haben unterschiedliche Massen und bewegen sich in unterschiedliche Richtungen. Die Geschwindigkeit jedes Objekts nach dem Zusammenstoß wird mit Hilfe dieser Gleichung berechnet.

Die Geschwindigkeit jedes Objekts unmittelbar nach dem Zusammenstoß:

1. Worin besteht der Unterschied zwischen einem elastischen und einem inelastischen Stoß?
   • Antworten: Bei einem elastischen Stoß bleiben sowohl die kinetische Energie als auch der Impuls erhalten. Bei einem inelastischen Stoß bleibt der Impuls erhalten, die kinetische Energie jedoch nicht. Bei einem vollkommen inelastischen Stoß bleiben die Objekte nach dem Zusammenstoß aneinander haften.
2. Wie bleibt der Impuls bei einer Kollision erhalten, unabhängig davon, ob es sich um eine elastische oder inelastische Kollision handelt?
   • Antworten: Der Impuls bleibt bei einem Stoß aufgrund des dritten Newtonschen Gesetzes erhalten, welches besagt, dass jede Aktion eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Reaktion hervorruft. Der Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß ist gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß.
3. Warum bleibt die kinetische Energie bei einer Kollision nicht immer erhalten?
   • Antworten: Bei inelastischen Stößen bleibt die kinetische Energie nicht erhalten, da ein Teil der anfänglichen kinetischen Energie in andere Energieformen umgewandelt wird, wie zum Beispiel Schall, Wärme oder Verformung der Objekte.
4. Kann sich die gesamte mechanische Energie eines Systems während einer Kollision verändern? Wenn ja, wie?
   • Antworten: Ja, die gesamte mechanische Energie kann sich bei einem inelastischen Stoß ändern. Obwohl die gesamte mechanische Energie (kinetische plus potenzielle Energie) in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt, kann bei einem inelastischen Stoß ein Teil der kinetischen Energie in nicht-mechanische Energieformen wie Wärme oder Schall umgewandelt werden.
5. Wie lässt sich feststellen, ob ein Stoß elastisch oder inelastisch ist, indem man die Objekte vor und nach dem Stoß beobachtet?
   • Antworten: Stoßen die Objekte voneinander ab und ist die gesamte kinetische Energie vor dem Stoß gleich der gesamten kinetischen Energie nach dem Stoß, handelt es sich um einen elastischen Stoß. Bleiben die Objekte aneinander haften oder nimmt die gesamte kinetische Energie ab, ist es ein inelastischer Stoß.
6. Welche Rolle spielt der Restitutionskoeffizient bei der Analyse von Stößen?
   • Antworten: Der Restitutionskoeffizient (üblicherweise bezeichnet mit $e$Die Elastizitätskonstante (γ) ist ein Maß dafür, wie „elastisch“ ein Stoß ist. Sie ist definiert als die relative Trennungsgeschwindigkeit geteilt durch die relative Annäherungsgeschwindigkeit. Bei einem vollkommen elastischen Stoß gilt: $e=1$und für einen vollkommen unelastischen Stoß, $e=0$.
7. Wie lässt sich der Drehimpulserhaltungssatz auf Stöße anwenden?
   • Antworten: Bei einer Kollision ohne äußeres Drehmoment bleibt der Drehimpuls erhalten. Dies gilt beispielsweise für rotierende Objekte, die zusammenstoßen, oder für Situationen wie Eiskunstläufer, die durch Anziehen der Arme ihre Rotationsgeschwindigkeit erhöhen.
8. Warum scheinen Kollisionen in der realen Welt oft unelastisch zu sein?
   • Antworten: Bei Kollisionen in der realen Welt geht typischerweise ein Teil der kinetischen Energie in Schall, Wärme oder Verformung umgewandelt. Diese Energieumwandlungen führen dazu, dass die meisten Kollisionen in der realen Welt bis zu einem gewissen Grad inelastisch sind.
9. Was geschieht mit den Geschwindigkeiten zweier Objekte gleicher Masse nach einem eindimensionalen elastischen Stoß?
   • Antworten: Bei einem eindimensionalen elastischen Stoß zweier Objekte gleicher Masse tauschen deren Geschwindigkeiten nach dem Stoß einfach die Positionen. Objekt 1 hat am Ende die Anfangsgeschwindigkeit von Objekt 2 und umgekehrt.
10. Können zwei Objekte bei einem elastischen Stoß aneinander haften bleiben?

• Antworten: Nein, wenn zwei Objekte aneinander haften bleiben, ist der Stoß vollkommen unelastisch. Bei einem elastischen Stoß prallen die Objekte voneinander ab, und die gesamte kinetische Energie bleibt erhalten.