Addition von Vektoren mithilfe von Komponenten – Probleme und Lösungen

Addition von Vektoren mithilfe von Komponenten – Probleme und Lösungen

1. Drei Vektoren, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

Was sind die resultierenden Vektoren?

Bekannt:

V₁ = 30, Winkel zwischen V₁ _{und der} x-Achse = 30 ^°

V₁ = 30, Winkel zwischen V₁ _{und der} x-Achse = 30 ^°

V ₃ = 40, Winkel zwischen V ₃ und der x-Achse = 0 ^°

Gesucht: Die resultierenden Vektoren

Lösung:

Die Komponenten von Vektoren :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts) zeigt.

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven y-Achse (nach oben) zeigt.

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen x-Achse (nach links) zeigt.

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven y-Achse (nach oben) zeigt.

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts) zeigt.

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

Die Komponenten der resultierenden Vektoren:

V _x = V _1x – V _2x + V _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

Der resultierende Vektor :

2. Zwei Kräfte stehen senkrecht zueinander, F₁ ₌ 12 N und F₂ ₌ 5 N. Wie groß ist die resultierende Kraft beider Kräfte?

Bekannt:

Kraft 1 (F ₁ ) = 12 Newton

Kraft 2 (F ₂ ) = 5 Newton

Gesucht: Die resultierenden Vektoren ( ΣF )

Lösung:

ΣF ² = F ₁ ² + F ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 Newton

3. Drei Vektoren,

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

Bestimmen Sie die resultierenden Vektoren.

Bekannt:

v ₁ = 30, macht 30 ^° um die negative x-Achse

v ₂ = 30, bildet 30 ^° um die positive x-Achse

v ₃ = 40, bildet 0 ^° um die positive x-Achse

Gesucht: Die resultierenden Vektoren

Lösung:

Die Komponenten von Vektoren:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen x-Achse (nach links) zeigt )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven y-Achse (nach oben) zeigt )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts ) zeigt )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven y-Achse (nach oben) zeigt. )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts) zeigt. )

v _3y = v ₃ sin 0 ^o = (40)(0) = 0

Die Komponenten der resultierenden Vektoren:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

Der resultierende Vektor:

4. Was ist die Resultierende der drei Vektoren, wie in der folgenden Abbildung dargestellt?

Bekannt:

F₁ = 3 Newton, macht 60^o um die positive x-Achse

F₂ = 3 Newton, macht 0 ^° um die negative x- _Achse

F ₃ = 6 Newton , macht 60 ^° um die negative y-Achse

Gesucht: Der resultierende Vektor

Lösung:

Die Komponenten von Vektoren:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts ) zeigt )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven y-Achse (nach oben) zeigt )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( Negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen x-Achse (nach links) zeigt )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts ) zeigt )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen y- Achse ( nach unten ) zeigt )

Die Komponenten der resultierenden Vektoren:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

Der resultierende Vektor:

5. Zwei Kräfte, F₁ = ₁₅ N und F₂ _{= 9 N} , bilden einen Winkel von 60°. Wie groß ist die resultierende Kraft?

Gesucht :

Kraft 1 (F ₁ ) = 15 Newton

Kraft 2 (F ₂ ) = 9 Newton

Winkel ( θ) = 60 ^o

Gesucht: Der resultierende Vektor

Lösung:

6. Was ist die Resultierende der drei Vektoren, wie in der folgenden Abbildung dargestellt?

Bekannt:

F₁ = 20 Newton, Winkel zwischen F₁ und x-Achse = 0

F ₂ = 20 Newton, Winkel zwischen F ₂ und der x-Achse = 60°

F ₃ = 24 Newton, Winkel zwischen F ₃ und der x-Achse = 60°

Gesucht: Der resultierende Vektor

Lösung:

Die Komponenten von Vektoren:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven x-Achse (nach rechts ) zeigt.

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen x-Achse (nach links) zeigt.

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positiv, da diese Vektorkomponente entlang der positiven y-Achse (nach oben) zeigt.

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen x-Achse (nach links) zeigt.

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N ist negativ, da diese Vektorkomponente entlang der negativen y- Achse ( nach unten ) zeigt.

Die Komponenten der resultierenden Vektoren:

F _x = F _1x – F _2x – F _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

Der resultierende Vektor: