Rotationsdynamik

Die Rotationsdynamik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich mit Drehbewegungen befasst, die von Kräften, Massen und anderen Einflussfaktoren abhängen. Ein Objekt rotiert, wenn sich alle seine Teile um eine Achse oder einen Drehpunkt bewegen, der sich an einem seiner Teile befindet. Die in diesem Abschnitt behandelten Drehbewegungen konzentrieren sich auf die Rotation um eine feste Achse. Beispiele für Drehbewegungen um eine feste Achse sind die Bewegung einer Riemenscheibe, eines Ventilators, einer CD/DVD in einem CD/DVD- Raum , einer Tür oder eines Fensters, eines Motorzylinders, eines Hubschrauber- oder Flugzeugpropellers oder eines Schiffspropellers. Haben Sie schon einmal einen Kreisel beobachtet? Die Position der Kreiselachse ändert sich ständig (die Neigung des Kreisels ändert sich), daher werden Drehbewegungen wie die eines Kreisels in diesem Abschnitt nicht behandelt.

In der Partikeldynamik wird ein Objekt in Translationsbewegung als Partikel oder einzelner Punkt betrachtet. Unabhängig von seiner Größe oder komplexen Form wird es als einzelner Punkt angesehen. In der Rotationsdynamik wird ein Objekt zwar nicht als einzelner Punkt betrachtet, jedoch unter der Annahme, dass seine Form und Größe unverändert bleiben. Besteht ein als Partikel betrachtetes Objekt aus einem einzelnen Punkt, so besteht ein als starrer Körper betrachtetes Objekt aus vielen Partikeln, deren Position und Abstand zueinander konstant bleiben.

Beispiel für eine Frage

1. Eine aus einem festen Material gefertigte Rolle, um deren Außenseite ein Seil gewickelt ist, ist in der Abbildung dargestellt. Die Reibung der Rolle wird vernachlässigt. Wenn das Trägheitsmoment der Rolle I = β beträgt und das Seil mit einer konstanten Kraft F gezogen wird, dann ist der Wert von F gleich …

A. F = α . β . R
B. F = α . β 2 . R
C. F = α . (β . R)^-1
D. F = α . β . (R)^-1
E. F = R . (α . β)^-1

Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Zugkraft = F
Trägheitsmoment der Rolle = β
Winkelbeschleunigung der Rolle = α
Riemenscheibenradius = R
Frage: Der Wert von F entspricht….
Antwort:

Newtons zweites Gesetz für die Drehbewegung:
Resultierendes Drehmoment der auf die Rolle wirkenden Kraft:
Die richtige Antwort ist D.

2. Auf einen 6 Meter langen Stab mit vernachlässigbarer Masse wirken drei Kräfte (siehe Abbildung). Das Drehmoment des Stabes bei Rotation um seinen Schwerpunkt O beträgt…

A. F

B. 3F

C. 4F

D. 5F

E. 6F

Diskussion

Es ist bekannt, dass:

Die Rotationsachse befindet sich im Punkt O.

Kraft 1 (F ₁ ) = F

Der Abstand zwischen dem Arbeitspunkt F ₁ und der Drehachse (r ₁ ) beträgt 3 Meter.

Kraft 2 (F ₂ ) = 2F

Der Abstand zwischen dem Arbeitspunkt F ₂ und der Drehachse (r ₂ ) beträgt 2 Meter.

Kraft 3 (F ₃ ) = 2F

Der Abstand zwischen dem Arbeitspunkt F ₃ und der Drehachse (r ₃ ) beträgt 3 Meter.

Frage: Wie groß ist das Drehmoment des Stabes, wenn er sich um seinen Schwerpunkt bei O dreht?

Antwort:

Kraftmoment 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ = (F)(3) = -3F

Das Moment der Kraft 1 bewirkt, dass sich der Stab im Uhrzeigersinn dreht, sodass das Moment der Kraft 1 ein negatives Vorzeichen hat.

Kraftmoment 2:

τ² ₌ F²r² = ( _{2F )} (2) = 4F

Das Drehmoment der Kraft 2 bewirkt, dass sich der Stab gegen den Uhrzeigersinn dreht, sodass das Drehmoment der Kraft 2 ein positives Vorzeichen hat.

Kraftmoment 3:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 30 ^o = (2F)(3)(0,5) = 3F

Das Drehmoment der Kraft 3 bewirkt, dass sich der Stab gegen den Uhrzeigersinn dreht, sodass das Drehmoment der Kraft 3 ein positives Vorzeichen hat.

Resultierendes Drehmoment:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

Das Drehmoment beträgt 4F Newtonmeter. Ein positives Drehmoment bedeutet, dass sich der Stab gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Die richtige Antwort ist C.

3. Schau dir das Bild an!

Wenn die Masse des Stabes AC vernachlässigt wird, α = 30 ^° , Länge AB = BC = 1 Meter, dann ist das Moment der Kraft des Systems mit der Achse im Punkt A…

Ein 10√3 Nm im Uhrzeigersinn

B. 10 √3 Nm gegen den Uhrzeigersinn

C. 20 Nm im Uhrzeigersinn

D. 20 √3 Nm gegen den Uhrzeigersinn

E. 20 √3 Nm im Uhrzeigersinn

Diskussion

Es ist bekannt, dass:

Die Rotationsachse befindet sich im Punkt A.

Kraft 1 (F ₁ ) = 10 N

Der Abstand zwischen dem Arbeitspunkt F ₁ und der Drehachse (r ₁ ) beträgt 1 Meter.

Kraft 2 (F ₂ ) = 10 N

Der Abstand zwischen dem Arbeitspunkt F ₂ und der Drehachse (r ₂ ) beträgt 1 Meter.

Kraft 3 (F ₃ ) = 20 N

Der Abstand zwischen dem Arbeitspunkt F ₃ und der Drehachse (r ₃ ) beträgt 2 Meter.

Frage: Drehmoment des Systems mit der Achse im Punkt A

Antwort:

Kraftmoment 1:

τ₁ ₌ F₁r₁ sin 30 _{° = (10} ⁾ _{(1 ) (0,5} ) = 5 Newtonmeter

Das Drehmoment der Kraft 1 bewirkt, dass sich der Stab gegen den Uhrzeigersinn dreht, sodass das Drehmoment der Kraft 1 ein positives Vorzeichen hat.

Kraftmoment 2:

τ² = _F²r² sin 30 _{° = (10} ⁾ (1)(0,5 ) = _-5 Newtonmeter

Das Moment der Kraft 2 bewirkt, dass sich der Stab im Uhrzeigersinn dreht, sodass das Moment der Kraft 2 ein negatives Vorzeichen hat.

Kraftmoment 3:

τ³ = _F³r³ sin 60 _° = (20 ⁾ ( 2)(0,5√3 ) = _-20√3 Newtonmeter

Das Moment der Kraft 2 bewirkt, dass sich der Stab im Uhrzeigersinn dreht, sodass das Moment der Kraft 2 ein negatives Vorzeichen hat.

Resultierendes Drehmoment:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = 5 – 5 – 20 √3

Στ = – 20 √3 Newtonmeter

Das Drehmoment beträgt 20√3 Newtonmeter . Ein negatives Drehmoment bedeutet, dass sich der Stab im Uhrzeigersinn dreht.

Die richtige Antwort ist E.

4. Schau dir das Bild an der Seite an!

Eine aus massivem Material gefertigte Rolle (I = 2/5 MR² ⁾ hat eine Masse von 2 kg. Wenn das Drehmoment auf die Rolle 4 Nm beträgt, dann ist die lineare Beschleunigung der Rolle … (g = 10 ms⁻² ⁾.

A. 50 ms ^-2

B. 25 ms ^-2

C. 20 ms ^-2

D. 16 ms ^-2

E. 8 ms ^-2

Diskussion

Es ist bekannt, dass:

Trägheitsmoment einer massiven Rolle (I) = 2/5 MR ²

Rollenmasse (M) = 2 kg

Drehmoment ( τ) = 4 Nm

Erdbeschleunigung (g) = 10 m ^/s²

Riemenscheibenradius (R) = 20 cm = 0,2 m

Frage: Lineare Beschleunigung (a)

Antwort:

Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Rolle (I):

I = 2/5 MR² ⁼ 2/5 (2)(0,2) ^² = 2/5 (2)(0,04) = 2/5 (0,08) = 0,16/5 = 0,032 kg ^m²

Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung ( α ):

τ = I α

α = τ/I = 4/0,032 = 125 rad.s ^-2

Berechnen Sie die lineare Beschleunigung (a):

a = R α = (0,2)( 125) = 25 ms ^-2

Die lineare Beschleunigung des Randes der Rolle beträgt 25 ms ^-2.

Die richtige Antwort ist B.

5. Schau dir das Bild an der Seite an! Die Rolle einer massiven Kugel rotiert mit einer Beschleunigung von 2 ms ^-2 , wenn g = 10 ms ^-2 , dann ist das Trägheitsmoment der Rolle ....

A. 1,0 kg·m²

B. 0,8 kg· ^m²

C. 0,6 kg· ^m²

D. 0,2 kg· ^m²

E. 0,1 kg· ^m²

Diskussion

Es ist bekannt, dass:

Lineare Beschleunigung der Rollenkante (a) = 2 ms ^-2

Erdbeschleunigung (g) = 10 m ^/s²

Riemenscheibenradius (R) = 10 cm = 0,1 m

Lastgewicht (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Frage: Trägheitsmoment der Rolle

Antwort:

Berechnen Sie das Kraftmoment ( τ):

τ = FR = w R = (40)(0,1) = 4 Nm

Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung der Rolle ( α ):

a = R α

α = a/R = 2/0,1 = 20 rad.s ^-2

Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Rolle (I):

τ = I α

I = τ/ α = 4/20 = 0,2 kg m ²

Die richtige Antwort ist D.

6. Schau dir das Bild an der Seite an!

Die Rolle wird so gezogen, dass sie sich mit einer Beschleunigung von 1 ms⁻² bewegt ^. Wenn der Radius der Rolle 10 cm beträgt, dann ist das Trägheitsmoment der Rolle …

A. 4,00 kg·m²

B. 2,00 kg· ^m²

C. 0,04 kg· ^m²

D. 0,02 kg· ^m²

E. 0,01 kg· ^m²

Diskussion

Es ist bekannt, dass:

Lineare Beschleunigung der Rollenkante (a) = 1 ms ^-2

Erdbeschleunigung (g) = 10 m ^/s²

Riemenscheibenradius (R) = 10 cm = 0,1 m

Zugkraft (F) = 4 N

Frage: Trägheitsmoment der Rolle

Antwort:

Berechnen Sie das Kraftmoment ( τ):

τ = FR = (4)(0,1) = 0,4 Nm

Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung der Rolle ( α ):

a = R α

α = a/R = 1/0,1 = 10 rad.s ^-2

Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Rolle (I):

τ = I α

I = τ/ α = 0,4/10 = 0,04 kg m ²

Die richtige Antwort ist C.

7. Eine massive Scheibenrolle mit einer Masse von 1 kg und einem Radius von 10 cm ist mit einem Seil umwickelt, an dessen einem Ende ein Gewicht von 1 kg hängt. Das Seil wird als masselos angenommen. Die Beschleunigung der Abwärtsbewegung der Last beträgt … (g = 10 m/s²).²)
A. 10 m/s²
B. 12 m/s²
C. 15 m/s²
D. 20 m/s²
E. 22 m/s²Diskussion:
Es ist bekannt, dass:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s²) = 10 Newton
r = 0,1 Meter
Gefragt:
Beschleunigung der Lastbewegung
Antwort:
Hitung Trägheitsmoment Dan Stilmoment zuerst.

Die richtige Antwort ist D.

8. Eine massive Scheibenrolle mit der Masse 2M und dem Radius R ist an ihrem Rand mit einem Seil umwickelt. An einem Ende des Seils hängt eine Last der Masse m. Wird die Last losgelassen, dreht sich die Rolle mit der Winkelbeschleunigung ω. Wird ein Objekt der Masse M an die Rolle gehängt, so muss die Masse der Last so gewählt werden, dass sich die Rolle mit der gleichen Winkelbeschleunigung dreht. (I_Rolle = ½ mr)²).
A. ¾ m kg
B. 3/2 m kg
C. 2 m kg
D. 3 m kg
E. 4 m kg

Diskussion:
Es ist bekannt, dass:
Masse der massiven Scheibenrolle: 2M
Radius der Vollscheibenrolle: R
Lastmasse: m
Gefragt :
Masse der Ladung?
Antwort:

Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer massiven Scheibenrolle vor und nach dem Anbringen eines Objekts der Masse M:
Trägheitsmoment 1 : I = ½ mr² = ½ (2M)(R)² = MR²
Trägheitsmoment 2 : I = ½ mr² = ½ (2M + M)(R)² = ½ (3M)(R)² = 1,5 MR²

Fragequelle:

Physikfragen für die nationale Prüfung an weiterführenden Schulen/Berufsschulen