Beispielaufgaben und Diskussion zur Produkt-Moment-Korrelation
Die Produkt-Moment-Korrelation, auch Pearson-Korrelation genannt, ist ein statistisches Verfahren zur Messung der Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen. Sie findet in verschiedenen Bereichen Anwendung, von der akademischen Forschung und der Wirtschaftsanalyse bis hin zur Auswertung von Experimenten in den Naturwissenschaften. Dieser Artikel behandelt anhand von Beispielen die Berechnung der Produkt-Moment-Korrelation und deren Lösungen.
Einführung
Bevor wir uns den Beispielaufgaben zuwenden, ist es sinnvoll, das Grundkonzept der Produkt-Moment-Korrelation zu verstehen. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Pearson-Korrelationskoeffizienten (\(r\)) lautet:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \( n \) ist die Anzahl der Datenpaare.
– \( \sum{XY} \) ist die Summe der Produkte von \( X \) und \( Y \).
– \( \sum{X} \) ist die Summe der Variablen \( X \).
– \( \sum{Y} \) ist die Summe der Variablen \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) ist die Summe der Quadrate der Variablen \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) ist die Summe der Quadrate der Variablen \( Y \).
Der Pearson-Korrelationskoeffizient (r) liegt stets zwischen -1 und 1. Eine positive Korrelation bedeutet, dass sich beide Variablen in dieselbe Richtung bewegen, während eine negative Korrelation bedeutet, dass mit zunehmender Größe der einen Variable die andere abnimmt. Ist r = 0, besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den beiden Variablen.
Beispielaufgabe 1
Datum
Nachfolgend die Ergebnisse der Mathematik- und Physikprüfungen von 5 Schülern:
| Schüler | Mathematik (X) | Physik (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Schritte zur Lösung
1. Berechnung wichtiger Komponenten:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. In die Formel einsetzen:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Berechnung der Ergebnisse:
– Zähler: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Nenner:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Der Pearson-Korrelationskoeffizient zwischen den Testergebnissen in Mathematik und Physik beträgt somit 0.633, was auf eine mäßige positive Korrelation zwischen den beiden Variablen hinweist.
Beispielaufgabe 2
Datum
Nachfolgend finden Sie Daten zum Umsatz und den Werbeausgaben eines Unternehmens über einen Zeitraum von 6 Monaten:
| Monat | Werbung (X) | Umsatz (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Schritte zur Lösung
1. Berechnung wichtiger Komponenten:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. In die Formel einsetzen:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Berechnung der Ergebnisse:
– Zähler: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Nenner:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Der Pearson-Korrelationskoeffizient zwischen Werbeausgaben und Umsatz beträgt somit 0.981, was auf eine sehr starke positive Korrelation zwischen den beiden Variablen hinweist.
Abschluss
Der Pearson-Korrelationskoeffizient (r) ist ein sehr nützliches Werkzeug, um den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen zu verstehen. In den folgenden Beispielen wird gezeigt, wie der r-Wert berechnet und interpretiert wird. Eine höhere Korrelation (näher an 1 oder -1) deutet auf einen stärkeren Zusammenhang hin, während eine niedrigere Korrelation (näher an 0) einen schwächeren Zusammenhang anzeigt. Wichtig ist, dass Korrelation keine Kausalität impliziert; sie zeigt lediglich an, dass ein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht.
