Fjedre i serie og parallel – problemer og løsninger

1. En genstand på 160 gram fastgøres i den ene ende af en fjeder, og ændringen i fjederens længde er 4 cm. Hvad er ændringen i længden af tre fjedre forbundet i serie og parallel, som vist på figuren nedenfor?

Kendt:

Ændringen i længden af en fjeder (Δx) = 4 cm = 0.04 m Fjedre i serie og parallel – problemer og løsninger 1

Masse (m) = 160 gram = 0.16 kg

Acceleration på grund af tyngdekraften (g) = 10 m/s²

Vægt (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Newton

Ønskes: Ændringen i længden af tre fjedre (Δx)

opløsning:

Ligningen af Hookes lov :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

De tre fjedre har den samme konstant, k = 40 N/m.

Bestem den ækvivalente konstant:

Forår 2 (k₂) og fjeder 3 (k₃) tara forbundet parallelt. Den ækvivalente konstant:

k₂₃ = k₂ +k₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Forår 1 (k₁) og fjeder 23 (k₂₃) er forbundet i serie. Den ækvivalente konstant:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Bestem ændringen i længden af tre fjedre:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Tre fjedre med samme konstant forbundet i serie og paralleltog en 2 kg tung genstand fastgjort i den ene ende af en fjeder, som vist på figuren nedenfor. Fjederkonstanten er k₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Hvad er ændringen i længden af de tre fjedre? Tyngdeaccelerationen er g = 10 ms^-2.

Kendt:

Fjederkonstant k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Tyngdeacceleration (g) = 10 ms^-2

Objektets masse (m) = 2 kg

Objektets vægt (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Se også Kirchhoff-loven – problemer og løsninger

Ønskes: Ændringen i længden af de tre fjedre (Δx)

opløsning:

Bestem den ækvivalente konstant:

Forår 1 (k₁) og fjeder 2 (k₂) er parallelforbundet. Den ækvivalente konstant:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Forår 3 (k₃) og fjeder 12 (k₁₂) er forbundet i serie. Den ækvivalente konstant:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Bestem ændringen i længden af de tre fjedre:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Tre fjedre er forbundet i serie og parallelt, som vist på figuren nedenfor. Hvis fjederkonstanten k = 50 Nm^-1 og en masse på 400 gram fastgjort i den ene ende af en fjeder. Hvad er ændringen i længden af de tre fjedre?

Kendt:

Fjederkonstant 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Fjederkonstant 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Fjederkonstant 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Objektets masse (m) = 400 gram = 0.4 kg

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Objektets vægt (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newton

Ønskes: Ændringen i længde (Δx)

opløsning:

Bestem den ækvivalente konstant:

Forår 1 (k₁) og fjeder 2 (k₂) er parallelforbundet. Den ækvivalente konstant:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Forår 3 (k₃) og fjeder 12 (k₁₂) er forbundet i serie. Den ækvivalente konstant:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Bestem ændringen i længden af de tre fjedre:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Hvordan påvirker seriekombination af fjedre den samlede fjederkonstant?
- Svar: Når fjedre kombineres i serie, reduceres den samlede fjederkonstant. Den reciprokke værdi af den ækvivalente fjederkonstant er summen af de reciprokke værdier af de individuelle fjederkonstanter: 1/k $=1/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Hvordan ændrer den samlede fjederkonstant sig, når fjedre kombineres parallelt?
- Svar: Parallel kombination af fjedre resulterer i en samlet fjederkonstant, der er summen af de individuelle fjederkonstanter: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Hvis to identiske fjedre er arrangeret i serie, hvordan er den kombinerede fjederkonstant så i forhold til fjederkonstanten for en individuel fjeder?
- Svar: Den kombinerede fjederkonstant vil være halvdelen af fjederkonstanten for en af de individuelle fjedre.

Hvad sker der med forlængelsen eller kompressionen af fjedre i serie, når en kraft påføres?
- Svar: For fjedre i en serie får den samme kraft hver fjeder til at forlænges eller komprimeres, men den samlede forlængelse (eller kompression) er summen af udvidelserne (eller kompressionerne) af de enkelte fjedre.

Hvis fjedre i parallelle positioner udsættes for en kraft, hvordan fordeles denne kraft så?
- Svar: For parallelle fjedre fordeles kraften mellem fjedrene baseret på deres fjederkonstanter. Fjedre med en højere fjederkonstant vil bære en større del af kraften end dem med en lavere fjederkonstant.
Hvorfor kan fjedre i serie betragtes som en enkelt fjeder med en længere længde?
- Svar: Seriefjedre har en kombineret effekt svarende til at strække en enkelt længere fjeder. Forlængelserne eller kompressionerne af de enkelte fjedre lægges sammen, ligesom de ville gøre i en længere enkelt fjeder.

Hvordan er den potentielle energi lagret i seriekoblede fjedre sammenlignet med den i parallelkoblede fjedre for den samme påførte kraft?
- Svar: Fjedre i serie lagrer mere potentiel energi end fjedre i parallel for den samme påførte kraft, fordi de undergår en større kombineret forlængelse eller kompression.
Hvis en af fjedrene i en parallel konfiguration knækker eller bliver ineffektiv, hvad sker der så med systemets overordnede opførsel?
- Svar: Hvis én fjeder i en parallel konfiguration knækker, vil de resterende fjedre stadig fungere. Systemets samlede fjederkonstant vil dog falde, og systemet vil ikke være i stand til at udøve lige så meget gendannelseskraft som før.

Hvorfor er fjedre i serie mere modtagelige for større deformationer end fjedre i parallel for den samme påførte kraft?
- Svar: For fjedre i serie virker den samme kraft på hver fjeder, hvilket får hver enkelt til at forlænges eller komprimeres. Den samlede deformation er summen af de individuelle deformationer. Parallelt fordeles kraften mellem fjedrene, så hver enkelt oplever en reduceret effektiv kraft, hvilket fører til mindre individuelle deformationer.
Hvorfor kan ingeniører i praktiske anvendelser vælge at bruge fjedre parallelt i stedet for i serie?

Svar: Ingeniører kan vælge fjedre parallelt for at opnå en højere samlet fjederkonstant, hvilket resulterer i en stivere opførsel. Denne opsætning kan også give redundans; hvis en fjeder svigter, fortsætter systemet med at fungere, omend med en reduceret samlet fjederkonstant.