Rotationsbevægelse – problemer og løsninger

Rotationsbevægelse – problemer og løsninger

Moment

1. En bjælke med en længde på 140 cm. Der virker tre kræfter på bjælken, F₁ = 20 N, F₂ = 10 N og F₃ = 40 N med retning og position som vist på figuren nedenfor. Hvad er drejningsmoment forårsager at bjælken roterer omkring bjælkens massemidtpunkt?

Kendt:

Massemidtpunktet er placeret i bjælkens centrum.

Bjælkelængde (l) = 140 cm = 1.4 meter

Kraft 1 (F₁) = 20 N, vippearmen 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 meter

Kraft 2 (F₂) = 10 N, vippearmen 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Kraft 3 (F₃) = 40 N, vippearmen 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 meter

Ønskes: Drejningsmomentets størrelse

opløsning:

Moment 1 roterer bjælken med uret, så moment 1 tildeles et negativt fortegn.

τ₁ =F₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Moment 2 roterer bjælken mod uret og tildeler dermed et positivt fortegn til moment 2.

τ₂ =F₂ l₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

Momentet 3 roterer bjælken med uret, så momentet 3 får et positivt fortegn.

τ₃ =F₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Netto drejningsmomentet:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Drejningsmomentets størrelse er 39 N m. Bjælkens rotationsretning er med uret, så den er tildelt et negativt fortegn.

2. Hvad er nettomomentet, der virker på bjælken? Rotationsaksen i punkt D. (sin 53)^o = 0.8)

Kendt:

Rotationsaksen i punkt D

F₁ = 10 N og l₁ = r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F₂ = 10√2 N og l₂ = r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F₃ = 20 N og l₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Ønskes: Nettomomentet

opløsning:

τ₁ =F₁ l₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Moment 1 roterer bjælken mod uret, så vi tildeler moment 1 et positivt fortegn)

τ₂ =F₂ l₂ = (10√2 N)(0.1√2 m) = -2 Nm

(Moment 2 roterer bjælken med uret, så vi tildeler moment 2 et negativt fortegn)

τ₃ =F₂ l₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Moment 3 roterer bjælken mod uret, så vi tildeler moment 3 et positivt fortegn)

Netto drejningsmomentet:

Στ = τ₁ – t₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Hvad er nettomomentet, hvis rotationsaksen i punkt D (sinus 53)^o = 0.8)

Kendt:

Rotationsaksen i punkt D.

Distance mellem F₁ og rotationsaksen (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Afstand mellem F₂ og rotationsaksen (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Afstand mellem F₃ og rotationsaksen (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁ = 10 Newton

F₂ = 10√2 Newton

F₃ = 20 Newton

Synd 53^o = 0.8

Ønskes: Nettomomentet

opløsning:

Kraftens øjeblik 1

I₁ = (F₁)(r_AD synd 53^o) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Moment 1 roterer bjælken mod uret, så vi tildeler moment 1 et positivt fortegn)

Kraftmomentet 2

I₂ = (F₂)(r_BD synd 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Moment 2 roterer bjælken med uret, så vi tildeler moment 2 et negativt fortegn)

Kraftmomentet 3

I₃ = (F₃)(r_CD synd 90^o) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Moment 2 roterer bjælken mod uret, så vi tildeler moment 3 et positivt fortegn)

Netto drejningsmomentet:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Inertimomentet

4. Ledningslængde = 12 m, l₁ = 4 m. Ignorer trådens masse. Hvad er inertimoment af systemet.

Kendt:

Masse af A (m_A) = 0.2 kg

Masse af B (m_B) = 0.6 kg

Afstanden mellem A og rotationsaksen (r_A) = 4 meter

Afstanden mellem B og rotationsaksen (r_B) = 12 – 4 = 8 meter

Ønskes: Systemets inertimoment

opløsning:

Inertimomentet for A

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 kg/m²²

Inertimomentet for B

I_B = (m_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg/m²²

Systemets inertimoment:

Jeg = jeg_A + I_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg/m²

Rotationsdynamik

5. En kraft på 6 N påføres en snor, der er viklet omkring en remskive med masse M = 5 kg og radius R = 20 cm. Hvad er remskivens vinkelacceleration? Remskiven er en ensartet, massiv cylinder.

Kendt:

Kraft (F) = 6 Newton

Masse (M) = 5 kg

Radius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Ønskes: Vinkelacceleration (en)

opløsning:

Kraftmomentet:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 Nm

Inertimomentet for en fast cylinder:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg) (0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 m²)²)

Jeg = 1/2 (0.2)

Jeg = 0.1 kg/m².

Vinkelaccelerationen:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s^-2

6. En blok med massen 4 kg hængende fra en snor viklet omkring en remskive med massen 8 kg og radius R = 10 cm. Tyngdeaccelerationen er 10 ms^-2 Hvad er blokkens lineære acceleration? Remskiven er en ensartet, massiv cylinder.

Kendt:

Masse af remskive (m) = 8 kg

Remskivens radius (r) = 10 cm = 0.1 m

Blokmasse (m) = 4 kg

Tyngdeacceleration (g) = 10 m/s²

Vægt (w) = mg = (4 kg) (10 m/s²) = 40 kg m/s² = 40 Newton

Ønskes: Blokkens acceleration i frit fald

opløsning:

Inertimomentet for den faste cylinder:

I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg) (0.1 m)² = (4 kg)(0.01 m²²) = 0.04 kg/m²²

Kraftmomentet:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Vinkelaccelerationen:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Den lineære acceleration:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s²

7. En blok med massen m hængende fra en snor viklet omkring en remskive. Hvis frit fald Blokkens acceleration er am/s², hvad er remskivens inertimoment..

Kendt:

vægt = w = mg

Håndtag = R

Vinkelaccelerationen = α

Blokkens frie faldacceleration = a ms^-2

Ønskede: Remskivens inertimoment (I)

opløsning:

Forbindelsen mellem den lineære acceleration og den vinkelmæssige acceleration:

a = Rα

α = a / R

Inertimomentet:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ Ra a^-1

Vinkelmomentet

8. En partikel på 0.2 gram bevæger sig i en cirkel med en konstant hastighed på 10 m/s. Cirklens radius er 3 cm. Hvad er partiklens vinkelmoment?

Kendt:

Masse af partikler (m) = 0.2 gram = 2 x 10^-4 kg

Vinkelhastighed (ω) = 10 rad/s^-1

Radius (r) = 3 cm = 3 x 10^-2 meter

Ønskes: Partiklens vinkelmomentum

opløsning:

Ligningen for vinkelmomentet:

L = I ω

I = vinkelmomentet, I = inertimomentet, ω = vinkelhastigheden

Inertimomentet (for partikler):

Jeg = Hr.² = (2 x 10^-4 )(3 x 10^-2)² = (2 x 10^-4 )(9 x 10^-4) = 18 x 10^-8

Vinkelmomentet:

L = I ω = (18 x 10^-8)(10 rad/s^-1) = 18 x 10^-7 kg m² s^-1

1. Hvad er rotationsbevægelse?
   • SvarRotationsbevægelse refererer til bevægelsen af ​​et objekt omkring en fast akse. Det er den type bevægelse, hvor hvert punkt på objektet bevæger sig i en cirkel omkring aksen.
2. Hvordan hænger lineær hastighed sammen med vinkelhastighed i rotationsbevægelse?
   • SvarLineær hastighed ($v$) af et punkt i et roterende objekt er direkte proportional med dets afstand ($r$) fra rotationsaksen og vinkelhastigheden ($\omega$) af objektet. Relationen er givet ved $v=r\cdot \omega$.
3. Hvad er inertimomentet, og hvordan hænger det sammen med rotationsbevægelse?
   • SvarInertimomentet er den rotationsmæssige analog til masse i lineær bevægelse. Det måler et objekts modstand mod ændringer i dets rotationstilstand. Inertimomentet afhænger af både et objekts masse og dets fordeling i forhold til rotationsaksen.
4. Hvordan gælder Newtons første bevægelseslov for rotationsbevægelse?
   • SvarLigesom et objekt i lineær bevægelse forbliver i bevægelse, medmindre det påvirkes af en ydre kraft, vil et objekt i roterende bevægelse forblive i den tilstand, medmindre det påvirkes af et ydre drejningsmoment.
5. Hvad er betydningen af ​​gyrationsradius?
   • SvarGyrationsradius giver et mål for fordelingen af ​​et objekts masse væk fra dets rotationsakse. Den beskriver i bund og grund, hvor langt fra aksen hele objektets masse skal koncentreres for at have samme inertimoment som den oprindelige fordeling.
6. Hvad er vinkelmoment, og hvordan bevares det?
   • SvarVinkelmoment er den rotationsækvivalent til lineært momentum. Det er produktet af et objekts inertimoment og dets vinkelhastighed. I et lukket system forbliver det samlede vinkelmoment konstant, medmindre det påvirkes af et eksternt drejningsmoment, hvilket understreger bevarelsen af ​​vinkelmomentet.
7. Hvordan påvirker drejningsmoment rotationsbevægelsen?
   • SvarDrejningsmoment er den rotationsmæssige ækvivalent til kraft. Det forårsager ændringer i et objekts rotationsbevægelse. Forholdet er givet ved Newtons anden lov for rotation: $\tau =I\cdot \alpha$Hvor $\tau$ er drejningsmomentet, $I$ er inertimomentet, og $\alpha$ er vinkelaccelerationen.
8. Hvordan adskiller massemidtpunktet sig fra rotationsmidtpunktet?
   • SvarSelvom de kan falde sammen, er massemidtpunktet det punkt, hvor hele et objekts masse kan antages at være koncentreret med henblik på beregninger i lineær bevægelse, hvorimod rotationsmidtpunktet er det punkt (eller aksen), om hvilket et objekt roterer.
9. Hvad er centripetalkraftens rolle i rotationsbevægelse?
   • SvarCentripetalkraften er den nettokraft, der virker på et objekt, der bevæger sig i en cirkulær bane, rettet mod rotationsmidtpunktet. Den er ansvarlig for at holde et objekt i sin buede bane og forhindre det i at bevæge sig i en lige linje på grund af inerti.

10. Hvordan er rotations kinetisk energi relateret til inertimoment og vinkelhastighed?

    • SvarRotationskinetisk energi er den energi, der opstår, når et objekt roterer omkring en akse. Den gives ved formlen: KE_{rotationalâ € <}=1/2 â € <I ω²Hvor $I$ er inertimomentet og $\omega$ er vinkelhastigheden.