Den kaldes Poiseuille-ligningen, fordi den blev opdaget af afdøde Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Som forklaret kan enhver væske betragtes som en ideel væske. Ideelle væsker har ikke viskositet. Hvis vi forestiller os en ideel væske, der strømmer i et rør, bevæger hver del af væsken sig med samme hastighed (v). I modsætning til ideelle væsker har virkelige væsker eller de væsker, vi møder i hverdagen, viskositet. Fordi de har viskositet, varierer hastigheden af hver del af væsken, når de strømmer i et rør, for eksempel. Væskelaget i midten bevæger sig hurtigere (v er stort), mens væskelaget, der er fastgjort til røret, ikke bevæger sig, dvs. stadig (v = 0). Så fra midten til kanten af røret bevæger hver del af væsken sig med forskellige hastigheder. For at gøre det lettere for dig at forstå, se billedet nedenfor…
Information :
R = radius af rør/rør
v1 = væskestrømningshastighed i rørets centrum/akse
v2 = væskestrømningshastighed ved en afstand r2 fra kanten af røret
v3 = væskestrømningshastighed ved en afstand r3 fra kanten af røret
v4 = væskestrømningshastighed ved en afstand r4 fra kanten af røret
r = afstand
For at sikre, at strømningshastigheden for hver væske er den samme, skal der være en trykforskel i begge ender af ethvert rør eller slange, som væsken strømmer igennem. Med væske mener vi her rigtige væsker, såsom vand eller olie, der strømmer gennem et rør, blod, der strømmer gennem blodkar osv. Udover at hjælpe en rigtig væske med at flyde jævnt, kan trykforskelle også tillade væsker at strømme i rør i forskellige højder.
Jean Louis Marie Poiseuille, en tidligere fransk videnskabsmand interesseret i de fysiske aspekter af den menneskelige blodcirkulation, udførte forskning for at undersøge, hvordan faktorer som trykforskelle, et rørs tværsnitsareal og rørets størrelse påvirker hastigheden af en reel væske. Resultaterne opnået af Jean Louis Marie Poiseuille er kendt som Poiseuille-ligningen.
Poiseuille-ligningen kan udledes ved hjælp af den tidligere udledte viskositetskoefficientligning. Vi bruger viskositetsligningen, fordi tilfældet er ens, men ikke identisk. Når vi udleder viskositetskoefficientligningen, betragter vi strømningen af et reelt væskelag mellem to parallelle plader, og væsken er i stand til at bevæge sig på grund af trækkraften (F). Forskellen er, at den Poiseuille-ligning, vi vil udlede, faktisk angiver de faktorer, der påvirker strømningen af en reel væske i et rør, og væsken flyder på grund af trykforskelle. Derfor skal viskositetskoefficientligningen justeres igen.
Væsker kan flyde på grund af trykforskelle (væsker flyder fra steder med højt tryk til steder med lavt tryk), så vi erstatter F med p1 - s2 (p1 > p2).
Når vi udleder ligningen for viskositetskoefficienten, betragter vi strømningen af et reelt væskelag mellem to parallelle plader. Hver del af væsken oplever en regelmæssig ændring i hastighed med en afstand l. I dette tilfælde ændrer væskens strømningshastighed sig regelmæssigt fra rørets akse til rørets kant. Væsken ved rørets akse strømmer med en større hastighed (v). Jo længere mod kanten man kommer, desto mindre falder væskehastigheden. Rørets radius = afstanden mellem rørets akse og rørets kant = R. Afstanden mellem hver del af væsken og rørets kant = r. Da antallet af hver del af væsken er meget stort, og deres afstand fra rørets kant også varierer, skriver vi det simpelthen sådan her:
v1 = væskens hastighed i afstanden r1 fra rørets kant (r1 = R)
v2 = væskens hastighed i afstanden r2 fra rørets kant (r2 < r1)
v3 = væskens hastighed i afstanden r3 fra rørets kant (r3 < r2 < r1)
v4 = væskens hastighed i afstanden r4 fra rørets kant (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = væskehastighed i afstanden rn fra rørets kant (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Antallet af hver del af væsken er meget stort, og vi ved heller ikke præcis, hvor meget det rent faktisk er, så det er nok at skrive det med symbolet n. Hver del af væsken oplever en regelmæssig ændring i hastighed (v), fra rørets akse (r1 = R) til rørets kant (rn). Fra rørets akse (r1 = R) til rørets kant (rn) bliver hastigheden af hver del af væsken mindre (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Ud fra ovenstående forklaring kan vi få en idé om, at væskehastigheden falder fra R til rn. Rørets længde = L. Den opnåede ligning er:
Fordi det vi betragter er væskestrømmens hastighed (v), bliver ligning 2:
Dette er ligningen for væskens strømningshastighed i afstanden r fra et rør med radius R. Hvis du er forvirret, mens du ser på billedet ovenfor ... Bemærk venligst, at væsken strømmer i et rør, så vi er nødt til at gennemgå væskens volumenstrømningshastighed.
Inde i røret er der en væske. For eksempel opdeler vi væsken i meget små stykker, hvor hvert stykke har et arealenhed dA, er placeret i afstand fra rørets akse og har en strømningshastighed v. Matematisk kan dette skrives som følger:
dA1 = væskesektion 1, som er en afstand på 1 fra røraksen
dA2 = væskesektion 2, som er en afstand på 2 fra røraksen
dA3 = væskesektion 3, som er en afstand på 3 fra røraksen
..................................
dA n = væskesektion n, som er afstanden dA n fra røraksen
Der er så mange væskestykker, at det er praktisk blot at skrive dem med symbolet n. Volumenstrømningshastigheden for hvert væskestykke kan skrives matematisk som følger:
Hvert stykke væske har en afstand på r = 0 til r = R (R = rørets radius). Med andre ord varierer afstanden til hvert stykke væske målt fra rørets akse. Hvis vi roder med kalkulus (integration), får vi ligningen for volumenstrømningshastigheden af væsken i røret:
Information :
Q = Debet
R = Indvendig radius af rør eller slange
η = Viskositetskoefficient
P1 - s2 = Trykforskel mellem rørets to ender
L = Rørlængde
p1-p2/L = Trykgradient (væskestrømmen går altid i retning af faldende tryk)
Baseret på Poiseuille-ligningen ovenfor ser det ud til, at væskens volumenstrømningshastighed, også kendt som udledning (Q), er proportional med rørets radius (R) i fjerde potens.4), trykgradient (p2 - s1 /L) og er omvendt proportional med viskositeten. Hvis rørets radius øges (viskositetskoefficient og trykgradient forbliver konstante), øges væskens strømningshastighed med en faktor 16.
Det grundlæggende koncept for design af rør, sprøjter osv. bruger denne ligning. Væskeudledning er proportional med R4 (R = rørets radius). Sprøjtens radius eller rørets radius skal beregnes omhyggeligt. Hvis vi for eksempel fordobler nålens radius (r x 2), så vil udstrømningen af den væske, der sprøjter, øge tommelfingerens trykkraft med 16 gange.
Poiseuilles ligning viser også, at radius i fjerde potens (r4), er omvendt proportional med trykforskellen mellem rørets to ender. For eksempel strømmer blodet i starten i et blodkar med en indre radius på r. Hvis der er en forsnævring af blodkarret (for eksempel r/2 = blodkarrets indre radius reduceres med 2 gange), er der behov for en trykforskel på 16 gange for at få blodet til at strømme som før (så udstrømningen eller blodvolumenstrømmen forbliver konstant).
