Amrywiant a Gwyriad Safonol Data Grŵp
Mae ystadegaeth yn gangen o fathemateg a ddefnyddir i gasglu, trefnu, dadansoddi, dehongli a chyflwyno data. Un cysyniad pwysig mewn ystadegaeth yw mesur amrywioldeb, neu ledaeniad data. Dau fesur sylfaenol o amrywioldeb yw amrywiant a gwyriad safonol. Bydd yr erthygl hon yn archwilio amrywiant a gwyriad safonol yn fanwl, yn benodol yng nghyd-destun data grŵp.
Diffiniad a Phwysigrwydd Amrywioldeb
Mae amrywioldeb yn mesur pa mor bell mae data'n ymledu o'i gymedr. Mae mesur amrywioldeb yn bwysig oherwydd ei fod yn darparu mewnwelediadau ychwanegol na ellir eu cael yn unig o fesurau o duedd ganolog, fel y cymedr. Drwy wybod y mesur o amrywioldeb, gallwn ddeall pa mor gyson yw'r data a nodi allanolion neu anomaleddau posibl.
Deall Amrywiant a Gwyriad Safonol
Mae amrywiant yn fesur o ddosbarthiad data sy'n dangos pa mor bell yw pob pwynt data o'i gymedr mewn unedau sgwâr. Fe'i rhoddir gan y symbol \( \sigma^2 \) ar gyfer poblogaeth a \(s^2 \) ar gyfer sampl. Y fformiwla ar gyfer amrywiant ar gyfer data poblogaeth yw:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum(X_i – \mu)^2}{N} \]
O ran y sampl, y fformiwla yw:
\[ s^2 = \frac{\sum(X_i – \bar{X})^2}{n-1} \]
Ble:
– \( X_i \) yw'r gwerth data unigol
– \( \mu \) yw cymedr y boblogaeth
– \( \bar{X} \) yw cymedr y sampl
– \( N \) yw maint y boblogaeth
– \(n \) yw maint y sampl
Gwyriad Safonol yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant. Fe'i rhoddir gan y symbol \( \sigma \) ar gyfer poblogaeth a \(s \) ar gyfer sampl. Mae gwyriad safonol yn dychwelyd yr unedau data i'w ffurf wreiddiol, gan ei gwneud hi'n haws i'w dehongli na'r amrywiant.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
\[ s = \sqrt{s^2} \]
Data Grŵp
Data wedi'i grwpio yw data sydd wedi'i ddosbarthu i sawl categori neu gyfnod. Er enghraifft, mae taldra myfyrwyr wedi'i rannu'n gyfnodau o 150-155 cm, 155-160 cm, ac yn y blaen. Mae dadansoddi amrywiant a gwyriad safonol ar ddata wedi'i grwpio yn gofyn am ddull ychydig yn wahanol i ddadansoddi data unigol.
Camau i Gyfrifo Amrywiant a Gwyriad Safonol ar gyfer Data Grŵp
Dyma'r camau i gyfrifo'r amrywiant a'r gwyriad safonol o ddata grŵp:
1. Creu Tabl Dosbarthiad Amledd
– Mae data wedi'i rannu'n sawl dosbarth neu gyfnodau.
– Cofnodir amlder pob cyfnod (nifer y data ym mhob cyfnod).
2. Pennu Canolbwynt y Dosbarth
– Cyfrifir canolbwynt pob cyfwng fel: \( \text{Canalpoint} = \frac{\text{Lower Fence} + \text{Uchafs Fence}}{2} \)
3. Cyfrifo'r Cyfartaledd Dros Dro (\( \bar{X} \))
– Cyfrifir y cyfartaledd gan ddefnyddio'r fformiwla: \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
– Lle mae \(f_i \) yn amlder ac \(x_i \) yn ganolbwynt y cyfwng.
4. Cyfrifo Gwyriad o'r Cymedr a'i Sgwâr
– Ar gyfer pob cyfnod, cyfrifir y gwyriad o'r cymedr fel: \( d_i = x_i – \bar{X} \)
– Yna cyfrifwch y sgwâr: \( d_i^2 \)
5. Cyfrifo Amrywiant a Gwyriad Safonol
– Cyfrifir amrywiant gan ddefnyddio'r fformiwla: \( s^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i – 1} \)
– Y gwyriad safonol yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant: \( s = \sqrt{s^2} \)
Enghraifft Cyfrifo
Tybiwch fod gennym ddata taldra myfyrwyr wedi'u grwpio fel a ganlyn:
| Cyfnod (cm) | Amlder (f) |
|——————|——————|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 10 |
| 160 – 164 | 15 |
| 165 – 169 | 8 |
| 170 – 174 | 2 |
1. Tabl Dosbarthu Amlder:
| Cyfnod (cm) | Amlder (f) | Canolbwynt (x) | \( f \cdot x \) | \( d = x – \bar{X} \) | \( d^2 \) | \( f \cdot d^2 \) |
|——————|——————|———————|——————–|——————–|——————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | | | |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | | | |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | | | |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | | | |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | | | |
| Cyfanswm | 40 | | 6440 | | | |
2. Cyfrifo'r Cyfartaledd (\( \bar{X} \)):
[\bar{X} = \frac{6440}{40} = 161 \]
3. Cyfrifo'r Gwyriad o'r Cymedr a'i Sgwâr:
| Cyfnod (cm) | Amlder (f) | Canolbwynt (x) | \(f \cdot x \) | \(d = x – 161 \) | \(d^2 \) | \(f \cdot d^2 \) |
|——————|——————|———————|——————–|——————-|———————-|
| 150 – 154 | 5 | 152 | 760 | -9 | 81 | 405 |
| 155 – 159 | 10 | 157 | 1570 | -4 | 16 | 160 |
| 160 – 164 | 15 | 162 | 2430 | 1 | 1 | 15 |
| 165 – 169 | 8 | 167 | 1336 | 6 | 36 | 288 |
| 170 – 174 | 2 | 172 | 344 | 11 | 121 | 242 |
| Cyfanswm | 40 | | 6440 | | | 1110 |
4. Cyfrifo Amrywiant:
\[ s^2 = \frac{1110}{40 – 1} = \frac{1110}{39} \tua 28.46 \]
5. Cyfrifo Gwyriad Safonol:
\[ s = \sqrt{28.46} \tua 5.33 \]
Casgliad
Mae amrywiant a gwyriad safonol yn fesurau pwysig mewn ystadegaeth sy'n disgrifio dosbarthiad data o amgylch ei gymedr. Er y gellir cymhwyso'r cysyniadau hyn i ddata unigol, mae'r broses gyfrifo ychydig yn wahanol ar gyfer data wedi'i grwpio. O'r enghraifft uchod, gallwn weld y camau manwl ar gyfer cyfrifo amrywiant a gwyriad safonol ar gyfer data wedi'i grwpio. Mae'r wybodaeth hon yn ddefnyddiol mewn amrywiaeth o gymwysiadau, o ymchwil academaidd i ddadansoddi busnes a chynhyrchu.
Gyda dealltwriaeth dda o amrywiant a gwyriad safonol, gallwn ddehongli a gwneud penderfyniadau'n fwy cywir yn seiliedig ar y data sydd gennym. Mae hyn yn caniatáu inni gynnal canlyniadau sydd nid yn unig yn gywir ond hefyd yn berthnasol.
