Fformiwla Bernoulli: Egwyddorion a Chymwysiadau
Mae egwyddor Bernoulli yn gysyniad sylfaenol mewn mecaneg hylifau, a ddarganfuwyd gan Daniel Bernoulli, gwyddonydd o'r Swistir, yn y 18fed ganrif. Mae'r egwyddor hon yn egluro'r berthynas rhwng cyflymder llif hylif a'r pwysau o fewn y llif hwnnw. Bydd yr erthygl hon yn trafod fformiwla Bernoulli yn fanwl, ei chysyniadau sylfaenol, ei deilliadau mathemategol, enghreifftiau cyfrifo, a'i chymwysiadau ym mywyd bob dydd.
Deall Fformiwla Bernoulli
Mae fformiwla Bernoulli yn nodi, mewn llif hylif delfrydol (heb ffrithiant), fod faint o ynni mecanyddol (ynni potensial, ynni cinetig, a phwysau) fesul uned gyfaint yn gyson drwy gydol y llif. Nodir y fformiwla hon fel:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{cysonyn} \]
Ble:
– \( P \) yw pwysedd yr hylif (mewn pascalau, Pa),
– \( \rho \) yw dwysedd yr hylif (mewn cilogramau fesul metr ciwbig, kg/m³),
– \(v \) yw cyflymder llif yr hylif (mewn metrau yr eiliad, m/s),
– \(g \) yw'r cyflymiad oherwydd disgyrchiant (mewn metrau yr eiliad sgwâr, m/s²),
– \( h \) yw uchder yr hylif uwchben y cyfeirnod (mewn metrau, m).
Egwyddor Bernoulli
Mae egwyddor Bernoulli yn seiliedig ar gyfraith cadwraeth ynni. Mewn llif hylif, rhaid i gyfanswm yr ynni mewn system aros yn gyson os na chaiff ynni ei ychwanegu at y system na'i dynnu ohoni. Mae cyfanswm yr ynni fesul uned gyfaint yn cynnwys:
1. Ynni Pwysedd (\(P \)): Ynni a achosir gan bwysedd hylif.
2. Ynni Cinetig (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Ynni a achosir gan symudiad hylif.
3. Ynni Potensial Disgyrchiant (\( \rho gh \)): Ynni a achosir gan safle hylif mewn maes disgyrchiant.
Deilliad Mathemategol Fformiwla Bernoulli
Er mwyn deall tarddiad Fformiwla Bernoulli, rydym yn ystyried elfen fach o hylif sy'n symud mewn llif â chyflymder \(v \) o bwynt 1 i bwynt 2. Os ydym yn tybio nad oes unrhyw golled ynni oherwydd ffrithiant na gwres, rhaid i gyfanswm yr ynni ym mhwyntiau 1 a 2 fod yr un fath.
Cyfanswm yr egni ym mhwynt 1 (\( E_1 \)) yw:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
Cyfanswm yr egni ym mhwynt 2 (\( E_2 \)) yw:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Gan fod yn rhaid i'r cyfanswm ynni fod yn gyson:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Dyma'r hyn a elwir yn Fformiwla Bernoulli.
Enghraifft o Gyfrifiad Gan Ddefnyddio Fformiwla Bernoulli
Tybiwch fod gennym bibell lorweddol gyda dŵr yn llifo o bwynt A i bwynt B. Ym mhwynt A, cyflymder y dŵr yw 2 m/s a'r pwysau yw 150,000 Pa. Ym mhwynt B, cyflymder y dŵr yw 4 m/s. Dwysedd dŵr yw 1000 kg/m³. Cyfrifwch y pwysau ym mhwynt B.
Defnyddiwch Fformiwla Bernoulli:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Gan fod y bibell yn llorweddol, \( h_A = h_B \), felly gellir anwybyddu \( \rho gh \) yn y ddau bwynt:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Cyfrifwch yr egni cinetig yn y ddau bwynt:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Felly, y pwysau ym mhwynt B yw 144,000 Pa.
Cymhwyso Egwyddor Bernoulli
1. Awyrennau: Defnyddir egwyddor Bernoulli wrth ddylunio adenydd awyrennau. Mae siâp adain awyren wedi'i ddylunio fel bod cyflymder yr aer uwchben yr adain yn fwy nag islaw'r adain. Mae hyn yn arwain at bwysau is uwchben yr adain a phwysau uwch islaw'r adain, gan greu'r lifft sy'n caniatáu i'r awyren hedfan.
2. Cerbydau Rasio: Mae dyluniad aerodynamig cerbydau rasio yn defnyddio Egwyddor Bernoulli i gynyddu cyflymder a sefydlogrwydd. Defnyddir sbwylwyr a thryledwyr i reoleiddio llif aer, gan gynyddu grym i lawr, sy'n gwella tyniant y cerbyd ar y ffordd.
3. Llif y Gwaed yn y Corff: Mae Egwyddor Bernoulli hefyd yn berthnasol i lif y gwaed trwy bibellau gwaed. Gellir astudio gwahaniaethau yng nghyflymder a phwysau llif y gwaed mewn gwahanol rannau o'r corff i wneud diagnosis o gyflyrau meddygol.
4. Mesurydd Venturi: Dyfais a ddefnyddir i fesur cyfradd llif hylif mewn pibell. Mae gan fesurydd Venturi adran gulhau, sy'n achosi cynnydd yng nghyflymder llif yr hylif a gostyngiad mewn pwysau yn unol ag Egwyddor Bernoulli. Defnyddir y gwahaniaeth pwysau rhwng yr adrannau llydan a chul i gyfrifo'r gyfradd llif.
5. Chwistrellwyr Persawr: Mae chwistrellwyr persawr neu chwistrellwyr hylif yn defnyddio egwyddor Bernoulli. Pan gaiff aer ei chwythu trwy diwb cul, mae'r pwysedd aer o amgylch pen y tiwb yn lleihau, gan dynnu'r hylif persawr i fyny trwy'r tiwb a'i chwistrellu fel niwl mân.
Ffactorau sy'n Dylanwadu ar Gymhwyso Egwyddor Bernoulli
1. Ffrithiant: Mewn gwirionedd, nid yw hylifau'n ddelfrydol ac mae ffrithiant mewnol (gludedd) bob amser sy'n achosi colli ynni. Mae hyn yn gwneud cymhwyso Egwyddor Bernoulli yn fwy cymhleth.
2. Cywasgedd Hylif: Mae egwyddor Bernoulli yn haws i'w chymhwyso i hylifau anghywasgadwy (fel dŵr). Ar gyfer nwyon neu hylifau cywasgadwy, rhaid addasu'r hafaliad.
3. Tyrfedd: Mae egwyddor Bernoulli yn berthnasol i lif laminar (rheolaidd). Mewn llif tyrfedd (afreolaidd), mae'r dadansoddiad yn dod yn fwy cymhleth.
Astudiaeth Achos: Defnyddio Egwyddor Bernoulli wrth Ddylunio Adenydd Awyrennau
Mae dyluniad adain awyren yn enghraifft glasurol o Egwyddor Bernoulli ar waith. Mae siâp top crwm a gwaelod gwastad yr adain yn caniatáu i aer lifo'n gyflymach dros yr adain nag oddi tani. Yn ôl Egwyddor Bernoulli, mae cyflymder llif aer uwch dros yr adain yn cynhyrchu pwysau is nag o dan yr adain. Mae'r gwahaniaeth pwysau hwn yn creu'r grym codi sy'n caniatáu i'r awyren hedfan.
Tybiwch fod gan awyren arwynebedd adenydd o 25 m². Cyflymder yr aer uwchben yr adenydd yw 70 m/s, tra o dan yr adenydd mae'n 50 m/s. Dwysedd yr aer yw 1.225 kg/m³. Cyfrifwch y codiad canlyniadol.
1. Cyfrifwch y gwahaniaeth pwysau (\( \DeltaP \)) gan ddefnyddio Fformiwla Bernoulli:
\[ P_{gwaelod} – P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 – v_{gwaelod}^2) \]
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys:
[ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
[ΔP = 1/2 ⋅ 1.225 ⋅ (4900 – 2500)]
[ΔP = 1/2 × 1.225 × 2400]
[ΔP = 1.225 × 1200]
[ \Delta P = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Cyfrifwch y grym codi (\( F_{codi} \)):
\[ F_{codi} = \Delta P \times A \]
\[ F_{codi} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{codi} = 36,750 \, \testun{
N} \]
Felly, y grym codi a gynhyrchir yw 36,750 newton.
Casgliad
Mae Egwyddor Bernoulli yn un o hanfodion mecaneg hylifau, gan esbonio'r berthynas rhwng cyflymder llif hylif a phwysau. Drwy ddeall a chymhwyso Fformiwla Bernoulli, gallwn ddadansoddi a dylunio amrywiaeth o systemau sy'n cynnwys llif hylifau, o awyrennau i fesuryddion llif. Er yn ymarferol mae'n rhaid i ni ystyried ffactorau fel ffrithiant a thyrfedd yn aml, mae Egwyddor Bernoulli yn parhau i fod yn offeryn hanfodol wrth ddeall dynameg hylifau a dylunio atebion peirianneg effeithlon.
