Theorem Torricelli – problemau ac atebion

Theorem Torricelli – problemau ac atebion

1. Tiwb 100 cm o uchder wedi'i lenwi â dŵr. Mae twll Q wedi'i leoli 10 cm uwchben y ddaear. Beth yw'r pellter llorweddol (x)?

Adnabyddus:

Pellter rhwng y twll ac wyneb y dŵr (a) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/eiliad²

SE busca: Pellter o x

Datrysiad:

Cyflymder llif y dŵr wrth y twll

v = cyflymder, g = cyflymiad oherwydd disgyrchiant, h = y pellter rhwng y twll ac wyneb y dŵr

Cyflymder llif y dŵr wrth y twll:

Amser yn yr awyr

Symudiad dŵr o'r twll i'r ddaear yw'r cynnig projectileGellid deall symudiad y taflegryn drwy ddadansoddi cydrannau llorweddol a fertigol y symudiad ar wahân. Mae'r symudiad x yn digwydd ar gyflymder cyson a'r symudiad y yn digwydd ar gyflymiad disgyrchiant cyson.

Yn y broblem hon, symudiad fertigol wedi'i ddadansoddi fel symudiad cwympo rhydd.

Cyfrifwch yr amser yn yr awyr gan ddefnyddio hafaliad y symudiad cwympo rhydd.

Adnabyddus:

Uchder y twll (y) = 10 cm = 0.1 m

Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s²

Eisiau: Ysbaid amser (t)

Datrysiad:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 eiliad

Y pellter llorweddol (x):

Adnabyddus:

Y cyflymder cychwynnol (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Amser yn yr awyr (t) = √0.02 eiliad

Eisiau: Y pellter llorweddol (x)

Datrysiad:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metr

2. Tanc sy'n cynnwys dŵr gydag uchder o 1 metr. Ym mhwynt P, mae twll. Beth yw cyflymder llif y dŵr yn y twll? Cyflymiad oherwydd disgyrchiant yw 10 m/s².

Adnabyddus:

Pellter rhwng y twll ac wyneb y dŵr (a) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s²

SE busca: Cyflymder llif y dŵr wrth y twll (v)

Datrysiad:

Cyflymder llif y dŵr wrth y twll:

3. Mawrtwb e yn cynnwys dŵr ac mae tap fel y dangosir yn y llun isod. Os yw g = 10 ms^-2, yna cyflymder y dŵr allan o'r tap yw…

Adnabyddus:

Uchder (u) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metr

Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s²

SE busca: Cyflymder dŵr (v)

Datrysiad:

TMae theorem Orricelli yn nodi bod cyflymder dŵr trwy dwll sydd bellter h o wyneb dŵr yn hafal i'r cyflymder rhydd-syrthioing dŵr o uchder o h.

Cyfrifir cyflymder dŵr gan ddefnyddio'r fformiwla symudiad cwympo rhydda v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/eiliad

4. A twb wedi'i lenwi â dŵr ac ar y wal mae twll (gweler ffigur isod). Cyflymder y dŵr sy'n dod allan o'r twll yw… (g = 10 ms^-2)

Adnabyddus:

Uchder (u) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metr

Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s²

Eisiau: Scyflymder dŵr (V)

Datrysiad:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/eiliad

5. Tanc sy'n cynnwys dŵr mor uchel â 1 metr (g = 10 ms^-2) ac ar y wal mae twll gollyngiad (gweler ffigur isod). Cyflymder y dŵr sy'n dod allan o'r twll yw...

Adnabyddus:

Uchder (u) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metr

Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s²

Eisiau: Scyflymder dŵr (V)

Datrysiad:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/eiliad

1. Beth mae theorem Torricelli yn ei ddisgrifio?
   • Ateb: Mae theorem Torricelli yn cysylltu cyflymder hylif sy'n llifo allan o agoriad ag uchder colofn yr hylif uwchben yr agoriad, gan dybio llif cyson, angludedd (dim gludedd), ac anghywasgadwy.
2. Sut mae theorem Torricelli yn cael ei fynegi'n fathemategol?
   • Ateb: Mynegir y theorem fel v=√2gh​, Lle $v$ yw cyflymder yr all-lif, $g$ yw'r cyflymiad oherwydd disgyrchiant, a $h$ yw uchder y golofn hylif uwchben yr agoriad.
3. O dan ba dybiaethau y deilliodd theorem Torricelli?
   • Ateb: Mae'r theorem yn tybio bod yr hylif yn anghywasgadwy ac yn angludiog, bod y llif yn gyson, ac nad oes unrhyw egni ychwanegol yn cael ei ychwanegu at yr hylif na'i gymryd oddi wrtho.
4. Os oes gan gynhwysydd ddau dwll ar wahanol ddyfnderoedd, sut fydd cyflymderau'r hylifau sy'n dod allan o'r tyllau yn cymharu?
   • Ateb: Bydd gan yr hylif sy'n dod allan o'r twll sy'n agosach at y gwaelod gyflymder mwy na'r hylif o'r twll uwch. Mae hyn oherwydd bod y pwysau (ac felly'r egni potensial) yn fwy mewn dyfnderoedd dyfnach.
5. Pam nad yw cyflymder yr all-lif yn dibynnu ar siâp nac arwynebedd trawsdoriadol y cynhwysydd?
   • Ateb: Dim ond yr egni potensial sy'n deillio o uchder colofn yr hylif uwchben yr agoriad y mae theorem Torricelli yn ei ystyried. Nid yw siâp y cynhwysydd yn newid yr uchder hwn, felly mae cyflymder yr alllif yn aros yr un fath.
6. Sut mae cyflymder gwirioneddol yr hylif sy'n llifo allan o agoriad yn wahanol i'r rhagfynegiad a wneir gan theorem Torricelli mewn sefyllfaoedd byd go iawn?
   • Ateb: Mewn sefyllfaoedd byd go iawn, gall ffactorau fel gludedd hylif, tyrfedd, a siâp yr agoriad effeithio ar y cyflymder gwirioneddol, gan ei wneud yn aml yn llai na'r hyn y mae theorem Torricelli yn ei ragweld.
7. Beth yw'r berthynas rhwng theorem Torricelli a chadwraeth ynni?
   • Ateb: Mae theorem Torricelli yn deillio o gadwraeth ynni mecanyddol. Mae'n cyfateb yr ynni potensial ar wyneb yr hylif i'r ynni cinetig wrth yr agoriad.
8. Os oes agoriad ar frig cynhwysydd sy'n llawn hylif, sut mae theorem Torricelli yn disgrifio cyflymder yr all-lif?
   • Ateb: Yr uchder $h$ uwchben yr agoriad byddai sero, felly yn ôl theorem Torricelli, byddai cyflymder yr all-lif yn sero.
9. Sut mae presenoldeb pwysau atmosfferig yn effeithio ar ragfynegiadau theorem Torricelli?
   • Ateb: Mae theorem Torricelli yn tybio bod y cynhwysydd yn agored i'r atmosffer, ac felly, mae pwysau atmosfferig yn gweithredu'n gyfartal ar draws wyneb yr hylif. Mae'r pwysau hwn yn cael ei ganslo wrth ystyried y gwahaniaeth pwysau ar draws uchder yr hylif, felly mae'r theorem yn parhau i fod yn ddilys.
10. Beth sy'n digwydd i gyflymder yr all-lif wrth i'r hylif yn y cynhwysydd leihau?

• Ateb: Wrth i lefel yr hylif ostwng, yr uchder $h$ uwchben yr agoriad yn lleihau. Yn ôl theorem Torricelli, byddai cyflymder yr alllif yn lleihau wrth v=√2gh​.

Mae'r cwestiynau ac atebion hyn yn archwilio sylfeini, goblygiadau a chymwysiadau theorem Torricelli mewn dynameg hylifau.