Munud o syrthni

1. Moment inertia'r gronyn

Adolygwch ronyn sy'n cylchdroi. Rhoddir y grym F i'r gronyn â màs m fel bod y gronyn yn cylchdroi o amgylch yr echelin O. Mae'r gronyn yn r ar wahân i'r echelin gylchdro. Yn gyntaf, mae'r gronyn yn llonydd (v = 0). Ar ôl symud gan rym F, mae'r gronynnau'n symud gyda chyflymder penodol fel bod gan y gronynnau gyflymiad tangiadol. Mynegir y berthynas rhwng grym (F), màs (m), a chyflymiad tangiadol gronynnau gan hafaliad 3:

F = ma _tan (Hafaliad 3)

Mae'r gronynnau'n cylchdroi fel bod gan y gronynnau gyflymiad onglog. Mynegir y berthynas rhwng cyflymiad tangiadol a chyflymiad onglog gan hafaliad 4:

tan = rα ₍ Hafaliad 4)

Amnewidiwch a yn hafaliad 3 gydag a yn hafaliad 4:

F = mr α

r F = ^mr² α

τ = (mr² ⁾ α (Hafaliad 5)

r F yw moment y grym a mr ² yw moment inertia'r gronyn. Mae Hafaliad 5 yn nodi'r berthynas rhwng moment y grym, moment yr inertia, a chyflymiad onglog gronynnau sy'n cylchdroi. Hafaliad 5 yw hafaliad ail gyfraith Newton ar gyfer gronynnau sy'n cylchdroi.

Moment inertia gronyn yw lluoswm màs y gronyn (m) a sgwâr y pellter rhwng gronynnau ag echelin y cylchdro (r² ⁾.

I = mr ² (Hafaliad 6)

I = moment inertia'r gronyn, m = màs y gronyn, r = pellter rhwng y gronyn ac echelin y cylchdro. Defnyddir hafaliad 6 i bennu moment inertia gronyn.

3.2 Problemau enghreifftiol o foment inertia'r gronyn

Problem enghreifftiol 1.

Cafodd gronyn â màs o 2 kg ei glymu wrth raff 0.5 metr o hyd ac yna ei gylchdroi. Beth yw moment inertia gronynnau wrth gylchdroi?

Ateb:

Fi = Mr. ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg ^m²

Problem enghreifftiol 2.

Mae dau ronyn, pob un â màs o 2 kg a 4 kg, wedi'u cysylltu gan wifren ysgafn, lle mae hyd y wifren yn 2 fetr. Anwybyddwch fàs y gwifrau. Pennwch foment inertia'r ddau ronyn, os:

a) Mae echelin y cylchdro wedi'i lleoli rhwng y ddau ronyn

Ateb:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Mae echelin y cylchdro ar bellter o 0.5 metr o'r gronyn sydd â màs o 2 kg

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.52 ⁾ + (4)( ^1.52 )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Mae echelin y cylchdro ar bellter o 0.5 metr o'r gronyn sydd â màs o 4 kg

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)( ^0.52 )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Yn seiliedig ar ganlyniadau'r cyfrifiadau uchod, mae lleoliad echelin y cylchdro yn dylanwadu'n gryf ar foment yr inertia. Er bod y siâp a'r maint yr un fath oherwydd bod lleoliad echelin y cylchdro yn wahanol, mae'r foment inertia hefyd yn wahanol.

Mae gan ronynnau ger yr echelin gylchdro foment inertia llai, tra bod gan ronynnau sydd ymhell o'r echelin gylchdro foment inertia fwy. Os ydym yn tybio bod y ddau ronyn uchod yn wrthrychau anhyblyg, yna mae pob gronyn ger yr echelin gylchdro.

mae ganddo foment inertia lai na foment inertia'r gronyn sydd ymhellach i ffwrdd o echel y cylchdro.

3.3 Moment inertia corff anhyblyg homogenaidd

Mae gwrthrychau anhyblyg wedi'u gwneud o lawer o ronynnau. Moment inertia corff anhyblyg yw cyfanswm nifer momentau inertia pob gronyn sy'n adeiladu'r gwrthrych.

I = Σ ^mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

I bennu moment inertia gwrthrych anhyblyg, mae angen i ni adolygu'r gwrthrych pan mae'n cylchdroi oherwydd bod lleoliad echelin y cylchdro yn effeithio ar foment inertia'r gwrthrych. Mae moment inertia (I) pob gronyn hefyd yn dibynnu ar fàs (m) y gronyn a sgwâr y pellter (r² ⁾ o'r gronyn o echelin y cylchdro. Màs yr holl ronynnau sy'n adeiladu'r gwrthrych yw màs y gwrthrych.

Y broblem yw, mae pellter pob gronyn o echel y cylchdro yn amrywio.

Adolygwch y gostyngiad yn fformiwla moment inertia modrwy denau gyda bysedd R a màs M.

Os yw echelin y cylchdro wedi'i lleoli yng nghanol y cylch, mae holl ronynnau'r cylch tenau wedi'u lleoli o echelin y cylchdro. Mae moment inertia cylch tenau yn hafal i foment inertia'r holl ronynnau:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Màs yr holl ronynnau = màs y cylch tenau (M)

I = M (r1 ₂ ⁺ r2 ₂ ⁺ r3 ₂ ⁺ … .. + _rn2 ⁾

Mae pob gronyn o'r cylch tenau yn r o echelin y cylchdro fel bod r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

Hafaliad moment inertia'r cylch tenau:

I = MR ²

I = moment inersia'r fodrwy denau, M = màs y fodrwy denau, R = radiws y fodrwy denau.

Beth os nad yw echelin y cylchdro wedi'i lleoli yng nghanol y cylch? Os nad yw echelin y cylchdro wedi'i lleoli yng nghanol y cylch, ni ellir deillio fformiwla moment inertia'r cylch tenau gan ddefnyddio'r dull uchod,

oherwydd bod pellter pob gronyn o echelin y cylchdro yn wahanol. Ni thrafodir deillio fformiwla'r foment inertia ar gyfer problem fel hon yn y pwnc hwn.

Fformiwla'r foment inertia ar gyfer rhai gwrthrychau anhyblyg

3.4 Problem enghreifftiol o foment inertia corff anhyblyg homogenaidd

Problem enghreifftiol 1:

Mae gan silindr gwialen AB fàs o 3 kg pan gaiff ei gylchdroi trwy B,

Mae'r foment inertia yn 27 kg m² ^. Beth yw'r foment inertia os

wedi'i gylchdroi trwy C?

Ateb:

Ateb:

Fformiwla'r foment inertia ar gyfer y wialen solet homogenaidd (mae echelin y cylchdro yng nghanol y wialen):

I = 1/12 ^ML2

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ^ML2

324 = ML ²

Fformiwla moment inertia gwialen solet homogenaidd (echelin y cylchdro ar ymyl y wialen):

I = 1/3 ^ML2

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²