Gweithrediadau ar Rhifau Cymhleth
Mae rhifau cymhleth yn gysyniad mathemategol sy'n cyfuno rhifau real a dychmygol. Maent yn hanfodol i lawer o ganghennau gwyddoniaeth, gan gynnwys ffiseg, peirianneg, a mathemateg ei hun. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio'r gwahanol weithrediadau y gellir eu perfformio ar rifau cymhleth, gan gynnwys adio, tynnu, lluosi, rhannu, a mwy.
Deall Rhifau Cymhleth
Gellir ysgrifennu pob rhif cymhlyg ar ffurf \(a+bi\), lle mae \(a\) a \(b\) yn rhifau real ac mae \(i\) yn uned ddychmygol sy'n bodloni \(i^2 = -1\). Gelwir y term \(a\) yn rhan real, tra bod \(b\) yn rhan ddychmygol y rhif cymhlyg. Er enghraifft, mae \(3 + 4i\) yn rhif cymhlyg gyda rhan real 3 a rhan ddychmygol 4.
Fel hafaliad sylfaenol, mae gennym:
\[ i^2 = -1 \]
Sy'n golygu mai \(i\) yw gwreiddyn sgwâr -1.
Adio a Thynnu
Gwneir adio a thynnu rhifau cymhlyg trwy adio a thynnu'r rhannau real a dychmygol yn y drefn honno. Tybiwch fod gennym ddau rif cymhlyg \(z_1 = a + bi \) a \(z_2 = c + di \), yna:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
Enghraifft:
Gadewch i \(z_1 = 3 + 4i \) a \(z_2 = 1 + 2i \), yna:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Lluosi
Mae lluosi rhifau cymhlyg yn defnyddio dosraniadau fel mewn algebra ond yn ystyried \( i^2 = -1 \). Tybiwch \( z_1 = a + bi \) a \( z_2 = c + di \), yna:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Enghraifft:
Gadewch i \(z_1 = 3 + 4i \) a \(z_2 = 1 + 2i \), yna:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2i + 4i ⋅ 1 + 4i ⋅ 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Dosbarthiad
Gwneir rhannu rhifau cymhlyg drwy luosi'r rhifiadur a'r enwadur â chyfuniad yr enwadur. Cyfuniad y rhif cymhlyg \( z = a + bi \) yw \( \overline{z} = a – bi \).
Tybiwch fod \(z_1 = a + bi \) a \(z_2 = c + di \), yna:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a +bi}{c+di} \]
Wedi'i luosi â chyfuniad yr enwadur:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Enghraifft:
Gadewch i \(z_1 = 3 + 4i \) a \(z_2 = 1 + 2i \), yna:
Cyfuniad \(z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Mae'n hysbys bod \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modwlws a Dadleuon
Modwlws rhif cymhlyg yw'r pellter o'r tarddiad yn y plân cymhlyg i'r pwynt a gynrychiolir gan y rhif cymhlyg. Mynegir modwlws rhif cymhlyg \( z = a + bi \) fel \( |z| \) a chaiff ei gyfrifo gan:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Enghraifft:
Os yw \(z = 3 + 4i \), yna:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Dadl rhif cymhlyg yw'r ongl y mae'r rhif cymhlyg yn ei ffurfio gyda'r echelin real yn y plân cymhlyg ac fel arfer caiff ei fynegi mewn radianau neu raddau.
Ffurf Begynol
Gellir mynegi rhifau cymhleth ar ffurf begynol hefyd. Yn aml, mae'r ffurf hon yn symleiddio cyfrifiadau sy'n cynnwys pwerau a gwreiddiau rhifau cymhleth. Gellir mynegi rhif cymhleth fel:
[z = r(cos ₀ + i sin ₀)]
lle mae r yn dynodi'r modwlws a heta yn ddadl y rhif cymhlyg.
Gweithredwyr Cymhleth Eraill: Esbonyddol a Logarithmig
Gellir trosi rhifau cymhleth i ffurf esbonyddol gan ddefnyddio fformiwla Euler:
\[ z = re^{i\theta} \]
lle mae \(e \) yn sail i'r logarithm naturiol, a \(\theta \) yn ddadl i \(z \).
Mae esboniadu rhifau cymhlyg yn ddefnyddiol iawn mewn llawer o weithrediadau, yn enwedig mewn dadansoddiad Fourier a thrawsffurfiadau Laplace.
Casgliad
Mae rhifau cymhleth yn offeryn sylfaenol sy'n hynod ddefnyddiol wrth ddatrys amrywiaeth eang o broblemau mewn mathemateg a gwyddoniaeth. Mae meistroli gweithrediadau sylfaenol fel adio, tynnu, lluosi a rhannu yn gam cyntaf hanfodol. Ar ben hynny, mae deall cysyniadau modwlws, dadl, a throsi i ffurfiau pegynol ac esbonyddol yn gwella ein gallu i archwilio cymwysiadau rhifau cymhleth mewn amrywiaeth eang o feysydd.
Drwy ddeall a chymhwyso rhifau cymhlyg, gallwn ddatrys problemau a allai fod yn anodd neu hyd yn oed yn amhosibl eu datrys gan ddefnyddio rhifau real yn unig. Fel offeryn dadansoddol pwerus, mae rhifau cymhlyg yn parhau i fod yn rhan annatod o fathemateg a chymwysiadau gwyddonol hyd heddiw.
