Gwerth Disgwyliedig y Dosraniad Normal
Mae'r dosraniad arferol, a elwir hefyd yn ddosraniad Gaussaidd, yn un o'r dosraniadau tebygolrwydd mwyaf sylfaenol mewn ystadegaeth ac fe'i defnyddir yn aml mewn amrywiol feysydd gwyddonol, gan gynnwys economeg, seicoleg, ffiseg a bioleg. Un o'r cysyniadau allweddol yn y dosraniad arferol yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr), sef paramedr canolog sy'n disgrifio lleoliad canol y dosraniad. Bydd yr erthygl hon yn trafod yn gynhwysfawr werth disgwyliedig y dosraniad arferol, gan gynnwys ei ddiffiniad, ei briodweddau a'i gymwysiadau mewn amrywiol feysydd.
1. Deall Dosraniad Normal
Mae'r dosraniad arferol yn ddosraniad tebygolrwydd parhaus sydd ar siâp cloch ac yn gymesur o amgylch y cymedr. Yn fathemategol, gellir mynegi'r dosraniad arferol gan y ffwythiant dwysedd tebygolrwydd canlynol (pdf):
[f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]
Ble:
– Mae \(x \) yn newidyn ar hap.
– \( \mu \) yw'r gwerth disgwyliedig neu'r cymedr o'r dosraniad.
– \( \sigma \) yw gwyriad safonol y dosraniad.
– \( \sigma^2 \) yw amrywiant y dosraniad.
Mae gan y dosraniad normal ddau brif baramedr: y cymedr (\(\mu\)) a'r gwyriad safonol (\(\sigma\)). Mae'r cymedr yn pennu canol y dosraniad, tra bod y gwyriad safonol yn pennu lled neu ledaeniad y dosraniad.
2. Gwerth Disgwyliedig (Cyfartaledd)
Y gwerth disgwyliedig, a elwir hefyd yn ddisgwyliad, o ddosraniad tebygolrwydd yw'r dyfaliad gorau o ganol y dosraniad, yn enwedig yng nghyd-destun dosraniad normal. Gwerth disgwyliedig newidyn ar hap \( X \) sydd wedi'i ddosbarthu'n normal gyda chymedr \( \mu \) ac amrywiant \( \sigma^2 \) yw \(\mu\).
Yn ffurfiol, diffinnir gwerth disgwyliedig newidyn ar hap parhaus \( X \) gyda ffwythiant dwysedd tebygolrwydd \( f \) fel:
\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx \]
Ar gyfer dosraniad normal, mae hyn yn golygu mai'r gwerth cymedrig neu ddisgwyliedig (\(\mu\)) yw'r pwynt lle mae'r gromlin ddosbarthiad ar ei phwynt uchaf a lle mae'r dosbarthiad yn gymesur.
3. Priodweddau o Werth Disgwyliedig
Mae sawl priodwedd bwysig i'r gwerth disgwyliedig yn y dosraniad arferol sy'n ddefnyddiol ar gyfer dealltwriaeth ddyfnach a chymhwyso ymarferol:
1. Cymesuredd:
Mae gan y dosraniad normal gymesuredd perffaith o amgylch y cymedr ∫(∫mu∫). Mae hyn yn golygu bod hanner y data i'r chwith o'r cymedr a'r hanner arall i'r dde o'r cymedr.
2. Cymedr fel Gwerth Disgwyliedig:
Mewn dosraniad normal, y cymedr (\(\mu\)) hefyd yw'r gwerth disgwyliedig, sy'n adlewyrchu cyfartaledd yr holl werthoedd posibl y gall newidyn ar hap eu cymryd.
3. Cyfanrifau Ffactor Llinol:
Os yw \( X \) yn newidyn ar hap gyda dosraniad normal \( N(\mu, \sigma^2) \), ac mae \( a \) a \( b \) yn rhifau cyson, yna gwerth disgwyliedig y newidyn ar hap llinol \( Y = aX + b \) yw \( E[Y] = aE[X] + b \). Ar gyfer dosraniad normal, mae hyn yn rhoi \( E[Y] = a\mu + b \).
4. Adio Newidynnau Ar Hap:
Os yw \( X_1 \) ac \( X_2 \) yn ddau newidyn ar hap annibynnol sydd ill dau wedi'u dosbarthu'n normal, yna mae'r swm \( X = X_1 + X_2 \) hefyd wedi'i ddosbarthu'n normal gyda chymedr \( \mu_X = \mu_1 + \mu_2 \) ac amrywiant \( \sigma_X^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \).
4. Cymhwyso Gwerth Disgwyliedig mewn Dosraniad Normal
Mae gan y gwerth disgwyliedig mewn dosraniad arferol amrywiol gymwysiadau yn y byd go iawn, gan gynnwys y canlynol:
1. Cyllid:
Mewn dadansoddiad ariannol, defnyddir gwerth disgwyliedig i amcangyfrif enillion portffolio buddsoddi. Er enghraifft, os yw'r enillion ar ased yn dilyn dosraniad arferol, gellir defnyddio cymedr y dosraniad hwnnw i ddisgrifio'r enillion cyfartalog disgwyliedig.
2. Yswiriant:
Mae cwmnïau yswiriant yn defnyddio gwerth disgwyliedig i amcangyfrif hawliadau yn y dyfodol yn seiliedig ar ddata hanesyddol. Yn aml, tybir bod dosbarthiad yr hawliadau hyn yn dilyn dosbarthiad arferol.
3. Ansawdd a Phroses Gweithgynhyrchu:
Yn y diwydiant gweithgynhyrchu, mae rheoli ansawdd yn aml yn defnyddio'r dosraniad arferol i fodelu amrywiad y broses gynhyrchu a phenderfynu a yw proses yn rhedeg yn dda neu a oes diffygion cynhyrchu.
4. Seicoleg ac Addysg:
Defnyddir y dosraniad arferol i ddisgrifio dosraniad sgoriau profion mewn mesuriadau addysgol a seicolegol. Mae'n cynorthwyo i safoni asesiadau a deall dosraniad galluoedd ar draws poblogaethau.
5. Diweddglo
Mae gwerth disgwyliedig yn gysyniad hanfodol yn y dosraniad arferol. Fel mesur o ganologrwydd dosraniad, mae'r gwerth disgwyliedig yn rhoi cipolwg ar gymedr data a gynhyrchir gan broses ar hap. Yn y byd go iawn, defnyddir gwerthoedd disgwyliedig mewn amrywiaeth o feysydd ar gyfer gwneud penderfyniadau a dadansoddi data. Mae'r dosraniad arferol, gyda'i briodweddau cymesur wedi'u diffinio gan y gwerth disgwyliedig a'r gwyriad safonol, yn darparu model tebygolrwydd hynod reddfol a hawdd ei weithredu.
Drwy ddeall y gwerth disgwyliedig mewn dosraniad arferol, gallwn ddadansoddi data yn well, gwneud rhagfynegiadau, a gwneud penderfyniadau mwy gwybodus mewn amrywiaeth o gyd-destunau busnes, gwyddonol a chymdeithasol.
