Gwerth Disgwyliedig y Dosraniad Binomial
Mae'r dosraniad binomial yn un o'r dosraniadau tebygolrwydd arwahanol mwyaf cyffredin mewn ystadegaeth a thebygolrwydd. Mae'r dosraniad hwn yn disgrifio nifer y llwyddiannau mewn cyfres o dreialon deuaidd annibynnol (treialon gyda dim ond dau ganlyniad: llwyddiant neu fethiant). Er mwyn deall y dosraniad binomial yn well, mae'n bwysig deall y cysyniad o werth disgwyliedig, sy'n disgrifio gwerth cyfartalog treial a ailadroddir dros y tymor hir. Bydd yr erthygl hon yn adolygu'r cysyniad o werth disgwyliedig yng nghyd-destun y dosraniad binomial.
Diffiniad o Ddosbarthiad Binomial
Mae'r dosraniad binomial yn codi mewn cyd-destunau lle rydym yn cynnal nifer o dreialon union yr un fath ac annibynnol, ac mae gan bob treial ddau ganlyniad sy'n cyd-eithriadol, a elwir fel arfer yn "llwyddiant" a "methiant." Er enghraifft, taflu darn arian (pen neu gynffon), ateb cwestiwn arholiad (gwir neu gau), neu dreial meddygol (wedi gwella neu heb wella).
Diffinnir y dosraniad binomial gan ddau baramedr:
– n , nifer y treialon.
– p , y tebygolrwydd o lwyddo ym mhob treial.
Yn fras, os yw X yn newidyn ar hap sy'n cynrychioli nifer y llwyddiannau mewn n treial, yna mae X yn dilyn dosraniad binomial gyda pharamedrau n a p, a ddynodir fel X ~ Binomial(n, p).
Ffwythiant Tebygolrwydd
Mae ffwythiant tebygolrwydd y dosraniad binomial fel a ganlyn:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
Ble:
– \( \binom{n}{k} \) yw'r cyfernod binomial, sy'n cael ei gyfrifo fel \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k \) yw'r nifer dymunol o lwyddiannau.
– \(n \) yw nifer y treialon.
– \(p \) yw'r tebygolrwydd o lwyddo ar bob treial.
– \( (1-p) \) yw'r tebygolrwydd o fethu ym mhob treial.
Gwerth Disgwyliedig
Mae gwerth disgwyliedig neu gymedr dosraniad tebygolrwydd yn un o'r mesurau pwysicaf o leoliad canolog. Ar gyfer y dosraniad binomial, gwerth disgwyliedig newidyn ar hap X sy'n dilyn Binomial(n, p) yw:
\[ E(X) = np \]
Prawf o Werth Disgwyliedig
I ddeall pam fod gwerth disgwyliedig y dosraniad binomial yn np, gallwn ddefnyddio'r priodwedd llinoledd o'r gwerth disgwyliedig a gweld sut mae'r newidynnau deuaidd yn adio i fyny at eu cyfraniad.
Gadewch i ni ddiffinio \( X \) fel nifer y llwyddiannau mewn n treial deuaidd. Yn fwy penodol, gadewch i \( X_i \) fod yn newidyn ar hap sy'n dynodi canlyniad yr i-fed treial, gyda \( X_i = 1 \) os yw'r i-fed treial yn llwyddiant, a \( X_i = 0 \) os yw'n fethiant. Yna, gallwn ysgrifennu \( X \) fel:
[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Gan fod pob \( X_i \) yn newidyn deuaidd gyda thebygolrwydd llwyddiant p, y gwerth disgwyliedig o \( X_i \) yw:
[E(X_i) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1-p) = p]
Gallwn ddefnyddio'r priodwedd llinoledd o werth disgwyliedig ar gyfer gwerth disgwyliedig X:
[E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n)]
[E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ∫ + E(X_n)]
[E(X) = p + p + ∫ + p]
\[ E(X) = np \]
Mae hyn yn dangos mai gwerth disgwyliedig y dosraniad binomial yw np.
Enghraifft Ddarluniadol
Ystyriwch yr achos lle rydyn ni'n taflu darn arian teg 10 gwaith. Gadewch i ni ofyn beth fyddai gwerth disgwyliedig nifer y tafliadau sy'n arwain at ben.
Yn yr achos hwn:
– n = 10 (nifer o dafliad darn arian)
– p = 0.5 (tebygolrwydd cael pen, gan fod y darn arian yn deg)
Felly, y gwerth disgwyliedig yw:
[E(X) = np = 10 x 0.5 = 5]
Mae hwyrach bod hyn yn golygu, os byddwn yn taflu darn arian 10 gwaith dro ar ôl tro dros y tymor hir, ar gyfartaledd byddwn yn cael pen 5 gwaith.
Amrywiant a Gwyriad Safonol
Yn ogystal â'r gwerth disgwyliedig, mae hefyd yn bwysig deall yr amrywiant a'r gwyriad safonol o'r dosraniad binomial.
Ar gyfer y dosraniad binomial, mae'r amrywiant \( \sigma^2 \) a'r gwyriad safonol \( \sigma \) fel a ganlyn:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Mae amrywiant yn mesur pa mor bell mae'r data wedi'i wasgaru o'r gwerth disgwyliedig. Y gwyriad safonol yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant ac mae hefyd yn mesur gwasgariad y data, ond yn yr un unedau â'r data gwreiddiol.
Casgliad
Mae'r dosraniad binomial yn gysyniad sylfaenol mewn ystadegaeth a thebygolrwydd, a geir yn aml mewn amrywiol gymwysiadau yn y byd go iawn, o fusnes i wyddorau cymdeithasol a bioleg. Mae gwerth disgwyliedig y dosraniad binomial, a gyfrifir fel np, yn rhoi cipolwg pwysig ar nifer cyfartalog y llwyddiannau mewn cyfres o dreialon deuaidd. Drwy ddeall cysyniadau gwerth disgwyliedig, amrywiant, a gwyriad safonol, gallwn gael dealltwriaeth gliriach o nodweddion y dosraniad binomial a sut mae'n disgrifio rhai ffenomenau ym mywyd bob dydd.
Mae'r wybodaeth hon yn hynod ddefnyddiol nid yn unig wrth ddadansoddi data ac ystadegau, ond hefyd wrth wneud penderfyniadau sy'n gofyn am werthuso tebygolrwydd ac ansicrwydd. Gall deall gwerth disgwyliedig a'r dosraniad binomial ein helpu i wneud rhagfynegiadau mwy cywir a gwneud penderfyniadau mwy gwybodus.
