Dulliau Prawf Mathemategol
Mae prawf mewn mathemateg wrth wraidd y ddisgyblaeth hon. Dulliau prawf yw'r sylfaen ar gyfer sicrhau gwirionedd datganiad mathemategol. O dybiaethau sylfaenol i gasgliadau, rhaid gwarantu bod pob cam yn ddilys. Mae deall amrywiol ddulliau prawf nid yn unig yn cryfhau sgiliau dadansoddol ond hefyd yn cyfoethogi'r profiad dysgu a chymhwyso mathemateg mewn amrywiol feysydd.
Bydd yr erthygl hon yn trafod rhai o'r prif ddulliau prawf mewn mathemateg, gan gynnwys prawf uniongyrchol, prawf anuniongyrchol (gwrthddywediad a gwrthddywediad), anwythiad mathemategol, a phrawf trwy enghraifft benodol. Mae gan bob dull wahanol gymwysiadau, cryfderau a gwendidau. Gadewch i ni eu harchwilio'n fanylach.
1. Prawf Uniongyrchol
Diffiniad ac Enghreifftiau
Mae prawf uniongyrchol yn ddull lle rydym yn profi datganiad drwy ddangos, os yw'r rhagdybiaethau'n wir, yna mae'r casgliad hefyd yn wir. Mewn prawf uniongyrchol, fel arfer rydym yn dechrau gyda'r hyn sy'n hysbys ac yn defnyddio camau rhesymegol i gyrraedd y casgliad.
Enghraifft:
Profwch, os yw \(n\) yn eilrif, yna mae \(n^2\) hefyd yn eilrif.
Prawf:
Tybiwch fod \(n\) yn eilrif. Yna, yn ôl diffiniad eilrif, gellir ysgrifennu bod \(n = 2k\) ar gyfer rhyw gyfanrif \(k\). Felly,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Mae'n amlwg y gellir mynegi \(n^2\) fel 2 waith cyfanrif (h.y. \(2k^2\)). Gan mai'r prif ofyniad ar gyfer eilrif yw y gellir ei fynegi fel 2 waith cyfanrif, yna mae \(n^2\) hefyd yn eilrif.
2. Tystiolaeth Anuniongyrchol
Mae prawf anuniongyrchol yn cynnwys dau brif ddull: prawf trwy gyferbynnu a phrawf trwy wrthddywediad.
a. Prawf o Gyferbyniad
Diffiniad ac Enghreifftiau
Mae'r dull hwn yn cynnwys profi'r datganiad goblygiadol "os \(P\), yna \(Q\)" trwy brofi gwrthbositif y datganiad: "os nad \(Q\), yna nid \(P\)".
Enghraifft:
Profwch, os yw \(n^2\) yn od, yna mae \(n\) hefyd yn od.
Prawf:
Gwrthwynebiad y datganiad yw: Os nad yw \(n\) yn odrif (neu'n eilrif), yna nid yw \(n^2\) yn odrif (neu'n eilrif).
Tybiwch fod \(n\) yn eilrif, yna \(n = 2k\) ar gyfer cyfanrif \(k\). Felly,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Mae hyn yn golygu bod \(n^2\) yn rhif eilrif. Felly, mae'r gwrthbositif wedi'i brofi, ac mae'r datganiad gwreiddiol hefyd wedi'i warantu i fod yn wir.
b. Prawf trwy Wrthddywediad
Diffiniad ac Enghreifftiau
Mae prawf trwy wrthddywediad yn cynnwys tybio bod y datganiad i'w brofi yn ffug a dangos bod y dybiaeth hon yn arwain at wrthddywediad rhesymegol.
Enghraifft:
Profwch fod \(\sqrt{2}\) yn rhif afresymol.
Prawf:
Tybiwch, yn lle hynny, fod \(\sqrt{2}\) yn rhif rhesymegol. Yna, \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), lle mae \(a\) a \(b\) yn gyfanrifau cysefin cymharol (y tynnu yw 1), a \(b \ne 0\). Felly, gallwn ysgrifennu:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
O'r hafaliad hwn, gwelwn fod \(a^2\) yn rhif eilrif, sy'n golygu bod yn rhaid i \(a\) fod yn eilrif hefyd. Tybiwch fod \(a = 2k\), mae gennym:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
Gan fod \(b^2\) yn eilrif, yna rhaid i \(b\) fod yn eilrif hefyd. Mae hyn yn golygu bod \(a\) a \(b\) ill dau yn eilrifau, sy'n gwrth-ddweud y dybiaeth wreiddiol bod \(\frac{a}{b}\) yn ei ffurf symlaf. Felly, ni all \(\sqrt{2}\) fod yn rhif rhesymegol, ac felly mae'n afresymol.
3. Anwythiad Mathemategol
Diffiniad ac Enghreifftiau
Mae anwythiad mathemategol yn ddull prawf a ddefnyddir i brofi datganiadau sy'n cynnwys rhifau cyfan. Mae'r broses yn cynnwys dau gam: y sail anwythiad a'r cam anwythiad.
Enghraifft:
Profwch fod swm y gyfres gyntaf o gyfanrifau \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Prawf:
– Sail Sefydlu:
Ar gyfer \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
cywir.
– Camau Sefydlu:
Tybiwch fod y datganiad yn wir ar gyfer rhif \(k\). Hynny yw,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Mae angen i ni brofi ei fod hefyd yn wir ar gyfer \(k + 1\). Rydym yn ychwanegu \((k + 1)\) at ddwy ochr yr hafaliad:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Felly, mae'r datganiad yn wir ar gyfer \(k + 1\). Felly, yn ôl egwyddor anwythiad mathemategol, mae'r datganiad yn wir ar gyfer pob cyfanrif positif \(n\).
4. Prawf gydag Enghreifftiau Penodol
Diffiniad ac Enghreifftiau
Mae'r dull hwn yn cynnwys profi trwy ddewis enghreifftiau penodol sy'n bodloni'r holl amodau a roddir yn y datganiad ac yn dangos bod y datganiad yn wir. Fodd bynnag, defnyddir y dull hwn fel arfer i brofi bod datganiad yn anghywir.
Enghraifft:
Profwch fod rhifau na ellir eu mynegi fel swm dau sgwâr perffaith.
Prawf:
Rhowch gynnig ar ddefnyddio enghraifft \(3\):
Tybiwch y gellir mynegi \(3\) fel swm dau sgwâr perffaith, sef \(a^2 + b^2 = 3\). Ar ôl rhoi cynnig ar bob cyfuniad o'r cyfanrifau \(a\) a \(b\),
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (amhosibl).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (amhosibl).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (amhosibl).
4. Nid yw rhifau negatif na rhifau sy'n fwy na 2 yn bosibl chwaith.
Mae hyn yn dangos na ellir mynegi \(3\) fel swm dau rif sgwâr. Felly, mae rhifau na ellir eu mynegi fel swm dau rif sgwâr perffaith.
Casgliad
Mae profion mewn mathemateg angen gwahanol fethodolegau a chamau systematig yn dibynnu ar y math o ddatganiad sy'n cael ei brofi. Prawf uniongyrchol, prawf anuniongyrchol (gwrthwynebol a gwrthddywediad), anwythiad mathemategol, ac enghreifftiau arbennig yw rhai o'r prif ddulliau prawf a ddefnyddir mewn gwahanol sefyllfaoedd. Bydd deall y dulliau hyn yn cryfhau hanfodion mathemateg ac yn eich helpu i archwilio gwahanol ganghennau mathemateg yn fanylach.
Gydag ymarfer a dealltwriaeth fanwl, bydd dulliau prawf mathemategol yn dod yn offeryn a fydd bob amser yn barod i'w ddefnyddio wrth ddatrys problemau mathemategol cymhleth.
