Ffordd hawdd o ddatrys problemau tebygolrwydd
Mae tebygolrwydd yn bwnc mathemategol a geir yn aml mewn ysgolion oherwydd ei agosrwydd at fywyd bob dydd: o debygolrwydd rhif yn ymddangos ar ddis, i dynnu pêl liw o flwch, i debygolrwydd digwyddiad yn digwydd yn seiliedig ar ddata. Yn anffodus, mae llawer o fyfyrwyr yn gweld tebygolrwydd yn "anodd" oherwydd bod y problemau'n ymddangos yn syml, ond gall yr atebion fod yn anghywir os na chânt eu hystyried yn ofalus. Fodd bynnag, mae ffordd eithaf hawdd a systematig o ddatrys problemau tebygolrwydd: deall y cysyniadau sylfaenol, nodi'r math o broblem, ac yna dewis y strategaeth gywir.
Bydd yr erthygl hon yn trafod camau ymarferol i'ch helpu i fod yn gyflymach ac yn fwy cywir wrth weithio ar broblemau tebygolrwydd.
-
1. Deall y syniad sylfaenol o gyfle
Yn gyffredinol, ysgrifennir tebygolrwydd digwyddiad \(A\) fel a ganlyn:
\[
P(A) = \frac{\text{nifer y canlyniadau sy'n cefnogi }A}{\text{nifer yr holl ganlyniadau posibl}}
\]
Mae'r allwedd yn gorwedd mewn dau beth:
1. Gofod sampl (S): pob canlyniad posibl a all ddigwydd.
2. Digwyddiad (A): rhan o'r gofod sampl sy'n cyfateb i'r cwestiwn a ofynnwyd.
Os yw pob canlyniad yr un mor debygol (e.e., dis teg, darnau arian teg), yna gellir defnyddio'r fformiwla uchod yn uniongyrchol. Os nad ydynt yr un mor debygol, fel arfer cyfrifir y tebygolrwyddau o fodelau eraill (e.e., data amlder neu debygolrwydd amodol).
-
2. Camau cyflym i ddatrys problemau cyfle
Er mwyn osgoi mynd ar goll, defnyddiwch y “fformiwla weithio” ganlynol:
1. Ysgrifennwch yr hyn a ofynnir (pa ddigwyddiad a ofynnir amdano?)
2. Penderfynwch ar y gofod sampl (faint o ganlyniadau posibl sydd yna?)
3. Cyfrifwch y canlyniadau sy'n cefnogi'r digwyddiad gofynnol.
4. Mae rhannu elw yn cefnogi canlyniadau cyfan
5. Symleiddiwch y ffracsiwn a gwnewch yn siŵr ei fod yn rhesymegol (rhaid i'r tebygolrwydd fod rhwng 0 ac 1)
Mae'r rhan fwyaf o wallau'n digwydd oherwydd nad yw camau 2 a 3 wedi'u hegluro.
-
3. Defnyddiwch dablau, diagramau coeden, neu restrau os oes angen.
Ar gyfer problemau sy'n cynnwys dau dreial neu fwy (e.e., taflu darn arian ddwywaith, tynnu cerdyn ddwywaith), mae dulliau gweledol yn ddefnyddiol iawn.
a) Tabl
Addas ar gyfer dau newidyn syml, er enghraifft darnau arian a dis.
b) Diagram coeden
Addas ar gyfer arbrofion cam wrth gam, yn enwedig os oes amod "dim dychwelyd" (mae nifer y gwrthrychau'n newid).
c) Rhestr o aelodau gofod sampl
Addas ar gyfer mannau sampl bach.
Fel hyn, does dim rhaid i chi ddyfalu.
-
4. Cwestiynau tebygolrwydd clasurol ac atebion cyflym
A. Siawns ar y dis
Mae gan ddis 6 ochr: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Enghraifft: y tebygolrwydd o gael rhif eilrif.
– Gofod sampl \(S = 6\)
– Mae'r digwyddiad \(A = \{2,4,6\}\) yn 3
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)
Tric cyflym: cyfrifwch “faint sy’n llenwi” bob amser yn lle “cyfanswm o 6”.
-
B. Siawns ar ddarn arian
Mae gan ddarn arian ddwy ochr: Pen (A) a Phen (G).
Enghraifft: y tebygolrwydd o gael llun pan gaiff darn arian ei daflu 1 waith.
– Cyfanswm 2
– Cymorth 1
– Siawns \(=1/2\)
Os caiff ei daflu ddwywaith:
– Gofod sampl: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) cyfanswm o 4
Awgrym cyflym: ar gyfer treialon annibynnol, y tebygolrwydd cyfanswm fel arfer yw \(2^n\) (ar gyfer darnau arian) a \(6^n\) (ar gyfer dis).
-
C. Tebygolrwydd cymryd pêl o'r bocs (gyda'i hailosod a heb ei hailosod)
Er enghraifft, mae blwch yn cynnwys 3 pêl goch a 2 bêl las (cyfanswm o 5).
1) Gyda dychwelyd
Cymerwch 2 waith, bob tro y caiff y bêl ei dychwelyd. Y tebygolrwydd o gymryd coch yna glas:
– Siawns o goch: \(3/5\)
– Yna glas (oherwydd iddo gael ei ddychwelyd, mae'n aros): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) Dim dychweliadau
Cymryd 2 waith heb ddychwelyd. Siawns o goch yna glas:
– Odds coch cyntaf: \(3/5\)
– 4 pêl sy'n weddill, mae'r glas sy'n weddill yn parhau i fod yn 2 → ail debygolrwydd glas: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
Y gwahaniaeth allweddol: heb ei amnewid, mae'r enwadur yn newid oherwydd bod cyfanswm y peli yn lleihau.
-
5. Defnyddiwch y rheolau adio ac ategu
A. Rheol adio (OR)
Os gofynnir am ods “A neu B”, defnyddiwch:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)
\]
– \(A \cup B\): A neu B (neu'r ddau)
– \(A \cap B\): A a B ar yr un pryd
Enghraifft syml: dis, y tebygolrwydd o gael rhif eilrif neu luosrif o 3.
– Eithriad: {2,4,6} → 3
– Lluosrifau o 3: {3,6} → 2
– Sleisys (eilrifau a lluosrifau o 3): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
B. Cyflenwad (gyferbyn)
Yn aml mae'n haws cyfrif y "ni ddigwyddodd" ac yna ei dynnu o 1.
\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]
Enghraifft: y tebygolrwydd y bydd “pen” yn ymddangos o leiaf unwaith pan gaiff darn arian ei daflu 3 gwaith.
Yn lle cyfrif rhif 1, 2, 3 gwaith, cyfrifwch ei gyflenwad:
– Cyflenwad: dim rhifau o gwbl = pob ffigur (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– Felly \(P(\text{o leiaf 1 rhif}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
Mae'r tric hwn yn boblogaidd iawn ar gyfer cwestiynau “o leiaf un”, “o leiaf un”, “lleiaf”.
-
6. Odds amodol: rhowch sylw i wybodaeth ychwanegol
Mae tebygolrwydd amodol yn golygu'r tebygolrwydd y bydd A yn digwydd ar yr amod bod B eisoes wedi digwydd:
\[
P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
Mae'r math hwn o gwestiwn fel arfer yn ymddangos pan fydd gwybodaeth ychwanegol, er enghraifft "mae'n hysbys bod y bêl goch wedi'i thynnu" neu "mae'n hysbys bod y myfyriwr a ddewiswyd yn ferch".
Y ffordd hawdd:
1. Canolbwyntiwch ar amod B (gan dybio bod y gofod sampl yn culhau i B yn unig)
2. O'r rhai sy'n bodloni B, cyfrifwch y rhai sydd hefyd yn bodloni A.
-
7. Camgymeriadau mwyaf cyffredin
1. Anghofiais newid y gofod sampl pan nad oedd wedi'i amnewid.
2. Camddehongli’r gair “neu” (weithiau’n golygu’r ddau).
3. Peidio â bod yn fanwl gywir gyda “lleiafswm” / “mwyaf”; mae'n well defnyddio ategolion.
4. Gan dybio bod digwyddiadau'n annibynnol pan nad ydynt (heb ddychweliad nid ydynt yn annibynnol).
5. Peidiwch â symleiddio a pheidiwch â gwirio'r rhesymeg (rhaid i'r canlyniad tebygolrwydd beidio â bod yn >1).
-
8. Ymarferwch awgrymiadau i ddod yn hyfedr yn gyflym
– Dewch i arfer ag ysgrifennu: \(S\), \(A\), llawer o aelodau \(n(S)\), \(n(A)\).
– Ymarfer problemau “dau gam” gyda diagramau coeden.
– Ymarferwch “o leiaf un” cwestiwn gyda chanmoliaethau.
– Unwaith y bydd gennych ateb, gwiriwch: a yw'n gwneud synnwyr? Os yw tebygolrwydd digwyddiad yn "debygol o ddigwydd," mae ei werth fel arfer yn agosach at 1, nid yn agosach at 0.
-
Cau
Mae datrys problemau tebygolrwydd mewn gwirionedd yn hawdd os ydych chi'n defnyddio camau systematig yn gyson: diffinio'r gofod sampl, pennu'r digwyddiadau, yna cyfrifo'r gymhareb. Ar gyfer problemau mwy cymhleth, defnyddiwch gymhorthion gweledol fel tablau neu ddiagramau coeden, a defnyddiwch reolau adio, lluosi a chyflenwad. Gyda digon o ymarfer a darllen problemau'n ofalus, ni fydd tebygolrwydd bellach yn teimlo'n "dwyll" ond yn hytrach yn dod yn rhan o fathemateg sydd mewn gwirionedd yn bleserus oherwydd ei fod yn agos at ddigwyddiadau bob dydd.
Os ydych chi eisiau, gallaf hefyd wneud 10 enghraifft o gwestiynau tebygolrwydd ynghyd â'u hesboniadau (o'r hawdd i'r anodd) fel y gallwch chi ymarfer ar unwaith.
