Safle'r Llinell yn Erbyn y Cylch
Mae'r cylch yn siâp geometrig sylfaenol gyda nifer o gymwysiadau mewn gwahanol feysydd, o fathemateg i ffiseg a pheirianneg. Agwedd bwysig ar astudio cylchoedd yw deall safle llinellau o'u cymharu â nhw. Mae'r safle hwn yn hanfodol mewn llawer o sefyllfaoedd, megis dylunio geometrig, dadansoddi strwythurol, ac astudio rhesymeg a phrofion mathemategol.
1. Diffiniad o Linellau a Chylchoedd
Cylch yw set o'r holl bwyntiau mewn plân sydd bellter cyson o bwynt canolog. Llinell yw set o bwyntiau sy'n ffurfio llinell syth ddiddiwedd.
Yn fathemategol, mynegir cylch gyda chanol (h, k) a radiws r gan yr hafaliad:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Gellir mynegi llinellau mewn amrywiol ffurfiau. Ffurf gyffredinol llinell yn y plân cyfesurynnau Cartesaidd yw:
\[ Ax + By + C = 0 \]
2. Safle'r llinell o'i gymharu â'r cylch
Gellir dosbarthu safle llinell o'i gymharu â chylch yn dair prif gategori:
1. Llinell Tangiad
2. Llinell Secant
3. Llinellau Y Tu Allan i'r Cylch
Llinell Tangiad i Gylch
Llinell sy'n tangiad i gylch yw llinell sy'n croestorri'r cylch mewn un pwynt yn unig. Gelwir y pwynt tangiad hwn yn bwynt tangiad. Yn geometregol, mae llinell yn tangiad i gylch os a dim ond os:
\[ d = r \]
Lle mae d yn cynrychioli'r pellter o ganol y cylch i'r llinell, ac r yw radiws y cylch.
I bennu'r pellter o ganol y cylch (h, k) i'r llinell Ax + By + C = 0, rydym yn defnyddio'r fformiwla:
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
Os yw \(d = r \), yna mae'r llinell yn tangiad i'r cylch.
Cylch Croestoriadol Llinell
Mae llinell yn croestorri cylch mewn dau bwynt gwahanol. Yn yr achos hwn, mae'r llinell yn secant o'r cylch. Yn fathemategol, mae llinell yn croestorri cylch os yw'r pellter o ganol y cylch i'r llinell yn llai na radiws y cylch:
\[ d < r \] Llinell y Tu Allan i Gylch Mae llinell y tu allan i gylch os yw'r pellter o ganol y cylch i'r llinell yn fwy na radiws y cylch: \[ d > r \]
3. Dadansoddiad o Safle Llinell mewn Perthynas â Chylch gydag Enghreifftiau
Dyma enghraifft i ddangos dealltwriaeth o safle llinell o'i gymharu â chylch.
Enghraifft 1: Llinell Tangiad i Gylch
Tybiwch fod gennym gylch gyda chanol (3, 2) a radiws 5. Y cwestiwn yw a yw'r llinell \( x + 2y = 7 \) yn tangiad i'r cylch?
Y cam cyntaf, rydym yn darganfod y pellter o ganol y cylch i'r llinell.
[h = 3, k = 2, r = 5]
\[ d = \frac{|1\cdot3 + 2\cdot2 – 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 4 – 7|}{\sqrt{5}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0 \]
Gan nad yw'r llinell yn cyffwrdd â'r cylch. Gadewch i ni wirio trwy gyfrifo eto:
\[
d = \frac{|1\cdot3 + 2\cdot2 – 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 4 – 7|}{\sqrt{5}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0
\]
Yn anffodus, er enghraifft, os oes gwall os \( d \neq r \), byddwn yn rhoi cynnig ar y llinell \( x + 2y = 8 \)
Y cam cyntaf, rydym yn darganfod y pellter o ganol y cylch i'r llinell.
[h = 3, k = 2, r = 5]
\[ d = \frac{|1\cdot3 + 2\cdot2 – 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 4 – 8|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = 4,7 \] neu d
Gan fod \( d < r \), nid yw'r llinell yn cyffwrdd â'r cylch. Enghraifft 2: Mae Llinell yn Croestorri Cylch Nawr, mae gennym gylch gyda chanol (0, 0) a radiws 3. Gadewch i ni weld a yw'r llinell y = x + 1 yn croestorri'r cylch.
Y cam cyntaf, rydym yn darganfod y pellter o ganol y cylch i'r llinell. \[ h = 0, \, k = 0, \, r = 3 \] \[ A = 1, \, B = -1, \, C = -1 \] \[ d = \frac{|1\cdot0 - 1\cdot0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71 \] Gan fod \( d < r \), mae'r llinell yn croestorri'r cylch mewn dau bwynt. 4. Casgliad Mae safle llinell o'i gymharu â chylch yn gysyniad sylfaenol mewn geometreg sy'n ddefnyddiol mewn amrywiol gymwysiadau. Gellir dosbarthu'r safle hwn yn seiliedig ar y pellter o ganol y cylch i'r llinell. Os yw'r pellter yn hafal i radiws y cylch, yna mae'r llinell yn tangiad i'r cylch. Os yw'r pellter yn llai na radiws y cylch, mae'r llinell yn croestorri'r cylch. Os yw'r pellter yn fwy na'r radiws, mae'r llinell y tu allan i'r cylch. Mae deall safle llinell o'i gymharu â chylch yn ddefnyddiol mewn amrywiaeth o ddadansoddiadau geometrig a chymwysiadau ymarferol eraill, o gynllunio a dylunio peirianneg i ymchwil wyddonol gymhleth. Gyda dealltwriaeth gadarn o'r safle hwn, gall ymarferydd neu ymchwilydd ddylunio a gwerthuso strwythurau yn fwy cywir ac effeithlon.