Deunydd Cyfraith Archimedes
Ydych chi erioed wedi gweld llong? Os nad ydych chi wedi gweld un yn bersonol, gobeithio eich bod chi wedi gweld un ar y teledu neu'r rhyngrwyd. Nid yw llong â màs mawr iawn yn suddo, tra gall craig fach, ysgafn. Pam mae hyn felly? Mae'r ateb yn eithaf syml os ydych chi'n deall cysyniadau arnofio ac egwyddor Archimedes.
Ym mywyd beunyddiol, byddwn yn darganfod bod gwrthrychau sydd wedi'u gosod mewn hylif, fel craig, yn bwyso llai nag y maent pan nad yw'r gwrthrych yn yr hylif. Efallai y byddwch yn cael anhawster codi craig o wyneb y ddaear, ond mae'r un graig yn hawdd ei chodi o waelod y pwll. Mae hyn oherwydd y grym arnofio. Mae arnofio yn digwydd oherwydd y gwahaniaeth mewn pwysau hylif ar wahanol ddyfnderoedd. Mae pwysau hylif yn cynyddu gyda dyfnder, po ddyfnaf yw'r hylif, y mwyaf yw pwysau'r hylif. Pan roddir gwrthrych mewn hylif, bydd gwahaniaeth mewn pwysau rhwng yr hylif uwchben y gwrthrych a'r hylif islaw'r gwrthrych. Mae gan yr hylif sydd wedi'i leoli ar waelod y gwrthrych bwysau mwy na'r hylif sydd wedi'i leoli ar ben y gwrthrych.
Hynofedd
Yn y ddelwedd, gwelir gwrthrych yn arnofio mewn dŵr. Mae gan yr hylif islaw'r gwrthrych bwysau mwy na'r hylif uwchben y gwrthrych. Mae hyn oherwydd bod gan yr hylif islaw'r gwrthrych ddyfnder mwy na'r hylif uwchben y gwrthrych (u2 > h1).
F2 = grym a roddir gan yr hylif ar waelod y gwrthrych, F1 = grym a roddir gan yr hylif ar ben y gwrthrych, A = arwynebedd y gwrthrych
Y gwahaniaeth rhwng F2 ac F1 yw cyfanswm y grym a roddir gan yr hylif ar wrthrych, yr ydym yn ei adnabod fel y grym arnofio. Maint y grym arnofio yw:
F arnofio = F2 − F1
F arnofio = (ρ gh2 A ) − (ρ gh1 A)
F arnofio = ρ g A ( h2 - h1)
F arnofio = ρ g A h
F arnofio = ρ g V
Gwybodaeth:
ρ = dwysedd hylif
g = cyflymiad oherwydd disgyrchiant
V = cyfaint y gwrthrych yn yr hylif
fel bod modd ysgrifennu'r hafaliad sy'n nodi maint y grym arnofiol (F arnofioldeb) uchod fel:
F arnofio = ρF g V → m = ρ V
F hynofedd = mF g
F arnofio = wF
mF g = wF = pwysau hylif sydd â'r un cyfaint â chyfaint y gwrthrych sydd wedi'i drochi.
Egwyddor Archimedes
Yn seiliedig ar yr hafaliad uchod, gallwn ddweud bod y grym arnofiol yn hafal i bwysau'r hylif wedi'i ddadleoli, mae cyfaint yr hylif wedi'i ddadleoli yn hafal i gyfaint y gwrthrych sydd wedi'i drochi yn yr hylif.
Os yw gwrthrych yn cael ei drochi mewn hylif ac yn arnofio, gyda dim ond rhan o'r gwrthrych wedi'i boddi, yna mae cyfaint yr hylif sydd wedi'i ddadleoli yn hafal i gyfaint y rhan o'r gwrthrych sydd wedi'i boddi yn yr hylif. Waeth beth fo siâp neu faint y gwrthrych, bydd yr un peth yn digwydd i bawb. Dyma waith Archimedes (287-212 CC), sydd bellach yn cael ei adnabod fel Egwyddor Archimedes.
Mae egwyddor Archimedes yn nodi bod:
Pan fydd gwrthrych wedi'i drochi'n llwyr neu'n rhannol mewn hylif, bydd yr hylif yn rhoi grym i fyny (grym arnofiol) ar y gwrthrych, lle mae maint y grym i fyny (grym arnofiol) yn hafal i bwysau'r hylif sy'n cael ei ddadleoli.
Stori Archimedes
Comisiynwyd Archimedes, a oedd yn byw rhwng 287 a 212 CC, gan y Brenin Hieron II i ymchwilio i weld a oedd y goron a wnaed i'r brenin wedi'i gwneud o aur pur. Roedd Archimedes yn ddryslyd i ddechrau ynghylch a oedd y goron wedi'i gwneud o aur pur neu a oedd yn cynnwys metelau eraill. Y broblem oedd bod y goron yn afreolaidd o ran siâp ac na ellid ei dinistrio i benderfynu a oedd yn aur pur.
Y syniad y tu ôl i benderfynu a yw coron brenin wedi'i gwneud o aur pur yw penderfynu disgyrchiant penodol y goron yn gyntaf ac yna ei gymharu â disgyrchiant penodol aur. Os yw'r goron wedi'i gwneud o aur pur, yna disgyrchiant penodol y goron = disgyrchiant penodol aur.
Disgyrchiant penodol gwrthrych yw cymhareb pwysau'r gwrthrych mewn aer i bwysau dŵr sydd â'r un gyfaint â'r gwrthrych. Yn fathemategol, fe'i hysgrifennir fel a ganlyn:
Sut i benderfynu pwysau dŵr sydd â'r un cyfaint â chyfaint gwrthrych?
Yn ôl Archimedes, pwysau dŵr gyda'r un cyfaint â chyfaint y gwrthrych = maint y grym arnofiol pan fydd y gwrthrych yn suddo (mae'r gwrthrych cyfan wedi'i drochi mewn dŵr). Mae hyn yr un fath â phwysau'r gwrthrych a gollwyd wrth ei bwyso mewn dŵr. Felly:
I bennu disgyrchiant penodol y goron, pwysir y goron yn gyntaf mewn aer (Pwysau'r Goron mewn Aer). Nesaf, rhoddir y goron mewn dŵr ac yna pwysir hi eto i gael pwysau'r goron goll. Felly:
Unwaith y ceir disgyrchiant penodol y goron, yna caiff ei gymharu â disgyrchiant penodol aur. Disgyrchiant penodol aur yw 19,3. Os yw disgyrchiant penodol y goron yn hafal i ddisgyrchiant penodol aur, yna mae'r goron wedi'i gwneud o aur pur. Fodd bynnag, os nad yw'r goron wedi'i gwneud o aur pur, yna ni fydd disgyrchiant penodol y goron yr un fath â disgyrchiant penodol aur.
Pam nad yw llongau'n suddo?
Os yw dwysedd gwrthrych yn llai na dwysedd dŵr, yna bydd y gwrthrych yn arnofio. Ar y llaw arall, os yw dwysedd gwrthrych yn fwy na dwysedd dŵr, bydd y gwrthrych yn suddo. Mae'r rhan fwyaf o longau wedi'u gwneud o haearn a dur. Dwysedd haearn a dur = 7,8 x 103 kg / m3 tra bod dwysedd dŵr = 1,00 x 103 kg / m3Mae'n ymddangos bod dwysedd haearn a dur yn fwy na dwysedd dŵr. Yn yr achos hwn, disgyrchiant penodol haearn a dur = 7,8. Dylai llongau wedi'u gwneud o haearn a dur suddo. Pam nad yw llongau'n suddo? Mae dwysedd cyfanswm y llong yn llai na dwysedd dŵr neu ddŵr y môr.
Cwestiynau enghreifftiol ar gyfraith Archimedes
Cwestiwn enghreifftiol 1:
Mae carreg 40 kg ar waelod pwll. Os yw cyfaint y garreg = 0,2 m3 faint o rym isafswm sydd ei angen i godi'r garreg?
Trafodaeth
Mae'n hysbys bod:
Màs y garreg (m) = 40 Kg
Cyfaint y garreg (V) = 0,02 m3
Dwysedd dŵr = 1000 Kg/m3
Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s2
Gofynnwyd: Isafswm F
Ateb:
F arnofio = w F
F hynofedd = m F g → m = pV
F arnofio = ρ F g V
F arnofio = (1000 kg/m3 )(10 m/eiliad2)(0,02 m3)
F arnofio = 200 kg m/s2
F arnofio = 200 N
Pwysau'r garreg (p) = mg
Pwysau'r garreg = (40 kg)(10 m/s2)
Pwysau carreg = 400 kg m/s2
Pwysau'r garreg = 400 N
Isafswm grym sydd ei angen i godi carreg:
Pwysau carreg – Grym arnofio = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Cwestiwn enghreifftiol 2:
Pwysau gwrthrych yn yr awyr = 5000 kg m/s2 a phwysau'r gwrthrych mewn dŵr = 4000 kg m/s2Os yw'r dwysedd gwrthrych = 2000 kg/m3 Beth yw màs a chyfaint y gwrthrych? g = 10 m/s2
Trafodaeth
Cyflymiad oherwydd disgyrchiant (g) = 10 m/s2
Dwysedd gwrthrych = 2000 kg/m3
Dwysedd dŵr = 1000 kg/m3
Pwysau gwrthrych yn yr awyr = 5000 kg m/s2
Pwysau gwrthrych mewn dŵr = 4000 kg m/s2
Grym arnofiol (F buoyant) = Pwysau gwrthrych yn yr awyr – Pwysau gwrthrych yn y dŵr
F arnofio = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/eiliad2
F arnofio = 1000 kg m/s2
F arnofio = Pwysau dŵr wedi'i ddadleoli
F arnofio = (màs y dŵr)(g)
F arnofio = (cyfaint y dŵr wedi'i ddadleoli)(dwysedd y dŵr)(g)
Cyfaint y dŵr wedi'i ddadleoli = Cyfaint y gwrthrych wedi'i foddi mewn dŵr 😉
Felly cyfaint y gwrthrych = 0,1 m3
Màs y gwrthrych = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = (2000 kg / m3 )(0,1 m3 )
m = 200 Kg
Màs y gwrthrych = 200 kg
Cwestiwn enghreifftiol 3:
Pa gyfaint o heliwm sydd ei angen os oes rhaid i falŵn godi llwyth o 500 kg?
Trafodaeth
Dwysedd heliwm = 0,1786 kg/m3
Dwysedd aer = 1,293 kg/m3
Grym arnofiol = Pwysau'r aer wedi'i ddadleoli = Pwysau'r llwyth + Pwysau'r heliwm
Grym arnofiol = Pwysau'r llwyth + pwysau'r heliwm
Grym arnofio = (màs y llwyth)(g) + (màs heliwm)(g)
Grym arnofio = (màs y llwyth + màs heliwm)g —- hafaliad 1
Grym arnofio = Pwysau aer wedi'i ddadleoli
Grym arnofio = (màs yr aer wedi'i ddadleoli)(g) —- hafaliad 2
Rydym yn cyfuno hafaliad 1 a hafaliad 2:
(màs y llwyth + màs yr heliwm)(g) = (màs yr aer sydd wedi'i ddadleoli)(g)
màs y llwyth + màs yr heliwm = màs yr aer sy'n cael ei ddadleoli
500 kg + (ρ heliwm)(V heliwm) = (ρ aer)(V aer)
500 kg = (ρ aer)(V aer) – (ρ heliwm)(V heliwm)
Cyfaint yr aer wedi'i ddadleoli (V aer) = Cyfaint yr heliwm sy'n llenwi'r balŵn (V heliwm)
500 kg = (ρ aer – ρ heliwm)(V)
Dyma'r cyfaint lleiaf o heliwm sydd ei angen i godi pwysau ar wyneb y Ddaear. Er mwyn caniatáu i'r balŵn arnofio'n uwch, mae angen cynyddu cyfaint yr heliwm. Mae hyn oherwydd bod dwysedd aer yn lleihau gydag uchder.
