Swyddogaethau ac An-Swyddogaethau: Deall Cysyniadau mewn Mathemateg
Mewn mathemateg, rydym yn aml yn dod ar draws cysyniadau haniaethol sy'n gofyn am ddealltwriaeth fanwl. Un cysyniad sylfaenol ond pwysig o'r fath yw'r "swyddogaeth". Nid yn unig y mae'r cysyniad hwn yn amlwg mewn mathemateg ond fe'i ceir hefyd mewn amrywiol feysydd fel ffiseg, cyfrifiadureg ac economeg. Fodd bynnag, mae dryswch yn aml yn codi wrth wahaniaethu rhwng swyddogaethau ac answyddogaethau. Bydd yr erthygl hon yn trafod yn fanwl beth yw swyddogaeth, ei nodweddion, a sut i'w gwahaniaethu oddi wrth answyddogaethau.
Beth yw Swyddogaeth?
Yn syml, mae ffwythiant yn berthynas sy'n cysylltu pob elfen mewn un set ag un elfen yn union mewn set arall. Gadewch i ni edrych ar ei ddiffiniad ffurfiol:
Diffiniad Ffurfiol o Swyddogaeth:
Mae ffwythiant f o set A i set B yn rheol sy'n cysylltu pob elfen yn A ag un elfen yn union yn B. Fe'i hysgrifennir fel \( f : A \rightarrow B \).
Hynny yw, os oes gennym ddwy elfen wahanol yn set A, rhaid iddynt beidio â bod yn gysylltiedig â'r un elfen yn set B.
Enghraifft syml o ffwythiant yw tymheredd corff person (parth/set A) a'i fesuriad mewn graddau Celsius (ystod/set B). Mae pob person yn gysylltiedig ag un gwerth tymheredd corff. Felly, yn y gyfatebiaeth hon, mae'r ffwythiant yn cysylltu unigolion (elfennau parth) â gwerthoedd tymheredd y corff (elfennau cyd-barth).
Nodweddion Swyddogaethol
Wrth ddeall y cysyniad hwn, mae sawl nodwedd benodol y mae'n rhaid i berthynas eu bodloni er mwyn cael ei hystyried yn swyddogaeth:
1. Perthnasau rhwng setiau:
Rhaid i ffwythiant gysylltu pob elfen yn y parth (set ffynhonnell) ag un elfen yn union yn y codarth (set darged). Os yw elfen yn y parth yn gysylltiedig â mwy nag un elfen yn y codarth, yna nid yw'n ffwythiant.
2. Unigrywiaeth:
Dim ond ag un gwerth yn y codaon y gellir cysylltu elfen yn y parth. Er enghraifft, os yw f(a) = 3 ac f(a) = 5 ar yr un pryd, yna nid yw f yn ffwythiant.
3. Parth Ddim yn Wag:
Mewn ffwythiant, rhaid i bob elfen yn y parth gael cyfatebwr yn y codaon, sy'n golygu na all y parth fod yn wag.
Ddim yn Swyddogaeth
Dywedir bod perthynas nad yw'n bodloni'r tri nodwedd uchod yn answyddogaethol. I ddeall hyn ymhellach, gadewch inni archwilio rhai enghreifftiau pendant.
1. Mae un Elfen yn y Parth yn Gysylltiedig â Mwy nag Un Elfen yn y Co-barth:
Er enghraifft, dychmygwch fod gennym berthynas lle mae myfyrwyr (parth) yn gysylltiedig â'u sgoriau arholiad (coparth). Os gall myfyriwr gael mwy nag un sgôr ar un arholiad (e.e., 75 a 90 ar yr un arholiad), nid yw'r berthynas hon yn ffwythiant.
2. Nid oes gan bob elfen parth bâr:
Fel y soniwyd, mewn ffwythiant, rhaid i bob elfen o'r parth gael cyfatebiaeth yn y cyd-barth. Os nad oes gan unrhyw elfen cyfatebiaeth, yna nid yw'r berthynas yn ffwythiant.
Pam mae Deall Swyddogaeth yn Bwysig?
Mae dealltwriaeth ddofn o'r ffwythiannau hyn nid yn unig yn bwysig mewn mathemateg bur ond hefyd mewn cymwysiadau mewn amrywiol feysydd eraill:
1. Cyfrifiadureg:
Swyddogaethau yw sylfaen rhaglennu, yr offer rydyn ni'n eu defnyddio i adeiladu algorithmau strwythuredig. Mae gweithredu swyddogaethau yn caniatáu inni ysgrifennu cod mwy modiwlaidd a haws ei ddeall.
2. Ffiseg:
Mynegir llawer o gysonion naturiol a deddfau ffisegol yn nhermau ffwythiannau. Er enghraifft, gellir mynegi deddf oeri Newton fel ffwythiant o dymheredd yn erbyn amser.
3. Economi:
Defnyddir ffwythiannau mewn modelau economaidd i ragweld y berthynas rhwng amrywiol newidynnau fel incwm a defnydd.
Cynrychiolaeth Swyddogaeth
Gellir cynrychioli swyddogaethau mewn amrywiol ffurfiau, yn dibynnu ar yr anghenion a'r cyd-destun:
1. Tabl:
Gellir cynrychioli ffwythiannau gan dablau sy'n dangos parau o elfennau parth a chodarth. Er enghraifft, tabl sy'n dangos y tymheredd dyddiol (parth) a nifer y conau hufen iâ a werthwyd (chodarth).
2. Graff:
Mae graffiau ffwythiannau yn un o'r ffyrdd mwyaf effeithiol o gynrychioli ffwythiannau. Ar graff, mae'r parth yn aml yn cael ei ddynodi gan yr echelin-x a'r cyd-barth gan yr echelin-y. Mae ffwythiant yn graff sy'n pasio'r prawf llinell fertigol—hynny yw, mae pob llinell fertigol yn croestorri'r graff mewn un pwynt yn union.
3. Hafaliad:
Y ffurf algebraidd o ffwythiant yw'r ffordd fwyaf cyffredin mewn mathemateg o fynegi ffwythiant. Er enghraifft, y ffwythiant llinol \( f(x) = mx + c \) neu'r ffwythiant cwadratig \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
Enghreifftiau o Swyddogaethau a Swyddogaethau An-Swyddogaethau
Beth am edrych ar rai enghreifftiau i grisialu ein dealltwriaeth o swyddogaethau:
Enghraifft 1:
– Ffwythiant: Mae gennym set A = {1, 2, 3} a set B = {4, 5, 6}. Mae'r ffwythiant \(f \) yn diffinio bod \(f(1) = 4 \), \(f(2) = 5 \), a \(f(3) = 6 \).
– Ddim yn Swyddogaeth: Os yw \(f \) yn diffinio bod \(f(1) = 4 \) a \(f(1) = 5 \), mae'n amlwg nad yw'r berthynas hon yn swyddogaeth oherwydd bod un elfen yn y parth wedi'i chysylltu â mwy nag un elfen yn y cyd-barth.
Enghraifft 2:
– Swyddogaeth: Mae myfyriwr (parth) yn gysylltiedig â'i sgôr prawf (coparth).
– Ddim yn Swyddogaeth: Ni all yr un myfyriwr gael dau sgôr gwahanol ar un arholiad. Os oes dau sgôr, nid yw'r berthynas yn swyddogaeth.
Casgliad
A barnu o'r esboniad uchod, gallwn weld bod ffwythiant yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg sy'n dod o hyd i nifer o gymwysiadau mewn gwahanol ddisgyblaethau. Mae ffwythiant yn cysylltu pob elfen yn y set parth ag un elfen yn union yn y set cyd-barth. Os na fydd perthynas yn bodloni'r nodweddion hyn, nid yw'n ffwythiant. Mae deall y gwahaniaeth rhwng ffwythiant a ffwythiant an-swyddogaethol yn darparu sylfaen gadarn ar gyfer astudiaeth fathemategol bellach a chymwysiadau ymarferol ym mywyd bob dydd.
