Mae fectorau yn gysyniad pwysig mewn ffiseg, a ddefnyddir i gynrychioli meintiau gyda maint a chyfeiriad. Mewn ffiseg, defnyddir fectorau yn aml i ddisgrifio amrywiol ffenomenau fel grym, cyflymder, cyflymiad, a mwy. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl enghraifft o broblemau fector ffiseg, ynghyd â'u hatebion a'u hesboniadau.
1. Adio a Thynnu Fectorau
Cwestiwn Enghraifft 1:
Rhoddir dau fector \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) fel a ganlyn:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Cyfrifwch:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
Datrysiad:
I adio dau fector, rydym yn adio eu cydrannau ar wahân.
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Felly, y canlyniad yw:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. Lluosi Sgalar (Lluoswm Dot)
Cwestiwn Enghraifft 2:
Rhoddir dau fector \(\mathbf{C}\) a \(\mathbf{D}\) fel a ganlyn:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
Cyfrifwch y lluoswm sgalar (lluoswm dot) o \(\mathbf{C}\) a \(\mathbf{D}\).
Datrysiad:
Y cynnyrch sgalar o ddau fector \(\mathbf{C}\) a \(\mathbf{D}\) yw:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Felly, canlyniad lluoswm sgalar \(\mathbf{C}\) a \(\mathbf{D}\) yw 26.
3. Cynnyrch Traws
Cwestiwn Enghraifft 3:
Rhoddir dau fector \(\mathbf{E}\) a \(\mathbf{F}\) fel a ganlyn:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
Cyfrifwch groes-luoswm \(\mathbf{E}\) a \(\mathbf{F}\).
Datrysiad:
Gellir cyfrifo croes-lluoswm dau fector \(\mathbf{E}\) a \(\mathbf{F}\) gan ddefnyddio'r determinant matrics:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 a 2 a 3 \\
4&5&6
\end{vmatrix}
\]
Cyfrifwch ddeterminant y matrics:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot 5 – 2 \cdot 5 – 2
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Felly, canlyniad croes-lluoswm \(\mathbf{E}\) a \(\mathbf{F}\) yw:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. Maint Fector
Cwestiwn Enghraifft 4:
O ystyried y fector \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\). Cyfrifwch faint (hyd) y fector \(\mathbf{G}\).
Datrysiad:
Gellir cyfrifo maint y fector \(\mathbf{G}\) gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Felly, maint y fector \(\mathbf{G}\) yw 5.
5. Datrysiad Fector
Cwestiwn Enghraifft 5:
Mae gan y fector \(\mathbf{H}\) faint o 10 uned ac mae'n ffurfio ongl o 30° gyda'r echelin-x. Pennwch gydrannau'r fector \(\mathbf{H}\) ar yr echelinau-x a'r echelin-y.
Datrysiad:
Gellir cyfrifo cydrannau'r fector \(\mathbf{H}\) ar yr echelinau x (\(\mathbf{H}_x\)) ac y (\(\mathbf{H}_y\)) gan ddefnyddio trigonometreg:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \sin(\theta)
\]
Gyda \(|\mathbf{H}| = 10\) a \(\theta = 30°\):
\[
H_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
H_y = 10 sin(30°)
\]
Gwerthoedd \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) a \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\):
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Felly, cydrannau'r fector \(\mathbf{H}\) yw:
\[
H_x = 5 ³
\]
\[
H_y = 5
\]
Casgliad
Yn yr erthygl hon, rydym wedi trafod nifer o broblemau enghreifftiol sy'n cynnwys fectorau mewn ffiseg, yn amrywio o adio a thynnu fectorau, lluosi sgalar a chroes, i faint a datrysiad fectorau. Mae deall cysyniad a gweithrediadau fectorau yn hanfodol mewn ffiseg oherwydd gellir esbonio llawer o ffenomenau naturiol gan ddefnyddio fectorau. Gobeithio y bydd y problemau enghreifftiol hyn yn eich helpu i ddeall cysyniad fectorau yn ddyfnach.
