Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Amrywiant a Gwyriad Safonol Data Grŵp
Rhagymadrodd
Mewn ystadegaeth, mae amrywiant a gwyriad safonol yn ddau fesur ystadegol sy'n hanfodol ar gyfer deall gwasgariad, neu ledaeniad, data o'r cymedr. Mae amrywiant yn mesur pa mor bell mae'r data wedi'i ledaenu o'r cymedr, tra bod gwyriad safonol yn isradd yr amrywiant, gan ddarparu mesur sydd yn yr un unedau â'r data gwreiddiol.
Diffiniad
– Amrywiant (σ² neu S²): Yw cyfartaledd sgwariau'r gwahaniaethau rhwng pob gwerth data a chymedr y data.
– Gwyriad Safonol (σ neu S): Yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant.
Fformiwla ar gyfer Amrywiant a Gwyriad Safonol Data Grŵp
Ar gyfer data grŵp, rydym yn defnyddio amlder y data ym mhob dosbarth. Dyma'r fformiwla:
Amrywiol
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Gwyriad Safonol
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Ble:
– \( f_i \) = amlder pob dosbarth.
– \( x_i \) = canolbwynt pob dosbarth.
– \( \bar{x} \) = cyfartaledd data'r grŵp.
– \( N \) = cyfanswm y data.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Tybiwch fod gennym ddata pwysau ar gyfer grŵp o bobl wedi'u grwpio mewn dosbarthiadau.
| Cyfnod Pwysau (kg) | Amlder (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Y cam cyntaf yw pennu canolbwynt pob dosbarth (\(x_i \)) ac yna cyfrifo'r cymedr (\( \bar{x} \)).
1. Cyfrifo'r Canolbwynt (\(x_i \))
\[ \text{Pwynt Canol} = \frac{\text{Terfyn Isaf} + \text{Terfyn Uchaf}}{2} \]
| Cyfwng Pwysau (kg) | Amlder (f) | Canolbwynt (\(x_i \)) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Cyfrifo'r Cyfartaledd (\( \bar{x} \))
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Cyfanswm nifer y data \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
[\sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Felly, y cyfartaledd (\( \bar{x} \)):
[\bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Cyfrifo Amrywiant (\(S^2 \))
Mae angen i ni gyfrifo \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{alinio}
(x_i – \bar{x})^2: a (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
a (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{alinio}
\]
Lluosi ag amlder:
\[
\begin{alinio}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{alinio}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Nawr gallwn gyfrifo'r amrywiant (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \tua 32.85 \]
4. Cyfrifo Gwyriad Safonol (\(S \))
Gwyriad safonol (\(S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \tua 5.73 \]
Casgliad
O'r data enghreifftiol uchod, mae gennym:
– Cyfrifo pwysau cyfartalog y corff: 62.8 kg
– Cyfrifo amrywiant: 32.85 kg²
– Cyfrifo’r gwyriad safonol: 5.73 kg
Y dehongliad o'r gwyriad safonol yw bod gwyriad cyfartalog y data pwysau o'r cymedr tua 5.73 kg. Mae hyn yn dangos lledaeniad y data o'i gymharu â'r cymedr, a all helpu i gasglu pa mor amrywiol yw ein data.
Mae dealltwriaeth drylwyr o amrywiant a gwyriad safonol yn hanfodol, yn enwedig i'r rhai sy'n gweithio ym maes ystadegaeth, ymchwil a phrofi, wrth iddynt geisio deall data ar ffurf grwpiau neu ddosraniadau. Gall gwybod sut i gyfrifo a dehongli'r ddau fesur hyn gynorthwyo i wneud penderfyniadau gwell yn seiliedig ar y data sydd ar gael.
