Enghraifft o gwestiwn trafod ar ddeilliad ffwythiant algebraidd
Mae'r deilliad mewn calcwlws yn gysyniad sylfaenol a ddefnyddir i ddisgrifio sut mae ffwythiant yn newid, neu lethr ffwythiant mewn pwynt. Mae deilliadau'n ddefnyddiol mewn amrywiol feysydd fel ffiseg, economeg a pheirianneg oherwydd eu bod yn darparu gwybodaeth am gyfradd y newid. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl enghraifft o ddeilliadau ffwythiannau algebraidd a sut i'w datrys.
Enghraifft 1: Deilliad o Ffwythiant Polynomial
Cwestiwn: O ystyried y ffwythiant \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Penderfynwch ddeilliad y ffwythiant!
Datrysiad:
Gan ddefnyddio'r rheol sylfaenol ar gyfer deilliadau ar gyfer ffwythiannau polynomial, sef \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), byddwn yn cyfrifo deilliad pob term o'r ffwythiant fesul un.
\[
\begin{alinio}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{alinio}
\]
Felly, deilliad \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) yw \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Enghraifft 2: Deilliad Ffwythiant gydag Esbonyddion Ffracsiynol
Cwestiwn: Pennwch ddeilliad y ffwythiant \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Datrysiad:
Gan ddefnyddio'r un rheol ddeillio, hynny yw \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{alinio}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{alinio}
\]
Felly, deilliad \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) yw \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Enghraifft 3: Deilliadau Ffwythiannau Esbonyddol a Thrigonometreg
Cwestiwn: Pennwch ddeilliad y ffwythiant \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Datrysiad:
I ddatrys y deilliad hwn, mae angen y Rheol Cynnyrch arnom, sy'n nodi \((uv)' = u'v + uv'\). Tybiwch \( u(x) = e^x \) a \( v(x) = \sin(x) \), yna:
\[
\begin{alinio}
u'(x) &= e^x, & \text{oherwydd bod deilliad } e^x \text{ yn } e^x \\
v'(x) & = \cos(x), & \text{oherwydd bod deilliad \sin(x) \text{ yn } \cos(x).
\end{alinio}
\]
Gan ddefnyddio'r rheol ddeilliedig ar gyfer cynhyrchion:
\[
\begin{alinio}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x ⋅(sin(x))' + \sin(x) ⋅(e^x)'
&= e^x ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ e^x
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{alinio}
\]
Felly, deilliad \( h(x) = e^x \sin(x) \) yw \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Enghraifft 4: Deilliad Ffwythiant Gan Ddefnyddio'r Rheol Gadwyn
Cwestiwn: Pennwch ddeilliad y ffwythiant \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Datrysiad:
I ddatrys y deilliad hwn, mae angen y rheol gadwyn arnom, sef \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Tybiwch \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) a \( f(u) = u^5 \), yna:
\[
\begin{alinio}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, a \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{alinio}
\]
Gan ddefnyddio'r rheol gadwyn:
\[
\begin{alinio}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 ⋅ (6x – 1)
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{alinio}
\]
Felly, deilliad \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) yw \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Enghraifft 5: Deilliad Ffwythiant ag Hunaniaethau Trigonometreg
Cwestiwn: Penderfynwch ddeilliad y ffwythiant \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Datrysiad:
Byddwn yn defnyddio'r rheol ddeilliadol ar gyfer cynhyrchion. Tybiwch \( u(x) = \sin(x) \) a \( v(x) = \cos(x) \), yna:
\[
\begin{alinio}
u'(x) & = \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{alinio}
\]
Gan ddefnyddio'r rheol ddeilliedig ar gyfer cynhyrchion:
\[
\begin{alinio}
m'(x) & = (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' ⋅ cos(x) + \sin(x) ⋅ (\cos(x))'
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{alinio}
\]
Gan ddefnyddio'r hunaniaeth trigonometrig \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Felly, deilliad \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) yw \(m'(x) = \cos(2x) \).
Casgliad
Mae deilliad ffwythiant algebraidd yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws sy'n bwysig iawn ac yn ddefnyddiol mewn amrywiol gymwysiadau. Mae amrywiol reolau deillio, megis y rheol ddeilliad sylfaenol, y rheol lluoswm, y rheol gadwyn, a'r rheolau ar gyfer deilliadau trigonometreg, i gyd yn helpu i gyfrifo deilliadau ffwythiannau mwy cymhleth. Drwy ddeall yr enghreifftiau uchod ac ymarfer problemau, gallwn wella ein dealltwriaeth a'n sgiliau wrth gymryd deilliadau ffwythiannau algebraidd.
