Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Trawsnewidiad yn y Plân Cartesaidd
Mae trawsffurfiadau yn y plân Cartesaidd yn bwnc pwysig mewn mathemateg, yn enwedig geometreg. Mae'r trawsffurfiadau hyn yn cynnwys amryw o weithrediadau megis cyfieithu, adlewyrchu, cylchdroi, ac ymledu, sy'n ceisio symud neu newid siâp gwrthrych mewn plân dau ddimensiwn. Bydd yr erthygl hon yn adolygu sawl problem enghreifftiol ac yn eu trafod yn gysylltiedig â thrawsffurfiadau yn y plân Cartesaidd.
Mathau o Drawsnewidiad
Cyn i ni fynd i mewn i'r broblem enghreifftiol, gadewch i ni adolygu'r mathau canlynol o drawsffurfiadau yn gyntaf:
1. Cyfieithu (Shift)
Symudiad pwynt neu wrthrych mewn plân o bellter penodol i gyfeiriad penodol yw cyfieithu. Gellir diffinio cyfieithu fel:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
lle mae \(a\) a \(b\) yn cynrychioli'r pellteroedd dadleoliad llorweddol a fertigol.
2. Myfyrdod
Adlewyrchiad yw adlewyrchiad pwynt neu wrthrych ar draws echelin, boed yr echelin-x, yr echelin-y, neu linell arall. Er enghraifft, adlewyrchiad ar draws yr echelin-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Cylchdro (Troelli)
Cylchdro yw cylchdro pwynt neu wrthrych o amgylch pwynt canolog gan ongl benodol. Gellir mynegi cylchdro gwrthglocwedd gan ongl \(\theta\) fel:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Ymlediad (Scaling)
Ymlediad yw'r newid ym maint gwrthrych gan ffactor graddfa penodol. Os yw'r ffactor graddfa yn \(k\), gellir mynegi ymlediad fel:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1: Cyfieithu
Cwestiwn:
Perfformiwch gyfieithiad ym mhwynt \(A(2, 3)\) gyda symudiad o 5 uned i'r dde a 4 uned i fyny.
Trafodaeth:
Mae cyfieithu 5 uned i'r dde yn golygu cynyddu'r cyfesuryn-x gan 5. Mae'r datganiad "4 uned i fyny" yn golygu cynyddu'r cyfesuryn-y gan 4. Canlyniad y cyfieithiad yw:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Felly mae'r pwynt \(A(2, 3)\) ar ôl cyfieithu yn dod yn:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Felly, y pwynt \(A(2, 3)\) ar ôl cyfieithu yw \(A'(7, 7)\).
Cwestiwn 2: Myfyrdod
Cwestiwn:
Adlewyrchwch y pwynt \(B(-4, 7)\) o amgylch yr echelin-y.
Trafodaeth:
Mae adlewyrchiad o amgylch echelin-y yn newid y cyfesuryn-x i negatif y cyfesuryn-x gwreiddiol, tra bod y cyfesuryn-y yn aros yr un fath.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Felly mae'r pwynt \(B(-4, 7)\) ar ôl adlewyrchiad yn dod yn:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Felly, y pwynt \(B(-4, 7)\) ar ôl adlewyrchiad o amgylch yr echelin-y yw \(B'(4, 7)\).
Cwestiwn 3: Cylchdroi
Cwestiwn:
Cylchdrowch y pwynt \(C(1, 2)\) gan \(90^\circ\) yn wrthglocwedd gyda'r canol yn y tarddiad \((0, 0)\).
Trafodaeth:
Gellir mynegi cylchdro o \(90^\circ\) yn wrthglocwedd fel:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Felly mae'r pwynt \(C(1, 2)\) ar ôl cylchdroi yn dod yn:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Felly, y pwynt \(C(1, 2)\) ar ôl cylchdro o \(90^\circ\) yn wrthglocwedd yw \(C'(-2, 1)\).
Cwestiwn 4: Ymlediad
Cwestiwn:
Ymledwch y pwynt \(D(3, 4)\) gyda ffactor graddfa \(k = 2\).
Trafodaeth:
Mae ymlediad gyda ffactor graddfa o \(2\) yn golygu lluosi'r ddau gyfesuryn â \(2\).
\[
(x, y) \arrow righter (2x, 2y)
\]
Felly mae'r pwynt \(D(3, 4)\) ar ôl ymlediad yn dod yn:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Felly, y pwynt \(D(3, 4)\) ar ôl ymlediad gyda ffactor graddfa \(2\) yw \(D'(6, 8)\).
Cwestiwn 5: Cyfuniad o Drawsnewidiadau
Cwestiwn:
Myfyriwch o amgylch yr echelin-x ac yna ymledwch gyda ffactor graddfa \(k = 0.5\) yn y pwynt \(E(8, -6)\).
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw myfyrio o amgylch yr echelin-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \arrow dde (8, 6)
\]
Yr ail gam yw cynnal ymlediad gyda ffactor graddfa o \(0.5\):
\[
(x, y) \arrow righter (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Felly, y pwynt \(E(8, -6)\) ar ôl myfyrio o amgylch yr echelin-x a'i ymledu gan ffactor graddfa \(0.5\) yw \(E'(4, 3)\).
Cwestiwn 6: Trawsnewidiad gyda Chylchdroi a Chyfieithu
Cwestiwn:
Cylchdrowch y pwynt \(F(-3, 4)\) gan \(180^\circ\) yn wrthglocwedd, yna cyfieithwch y canlyniad gyda'r fector \((2, -1)\).
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw cylchdroi 180 gradd yn wrthglocwedd:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \arrow dde (3, -4)
\]
Yr ail gam yw perfformio cyfieithiad gyda'r fector \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \arrow righter (3+2, -4-1) \arrow righter (5, -5)
\]
Felly, y pwynt \(F(-3, 4)\) ar ôl cylchdro \(180^\circ\) a chyfieithiad gan y fector \((2, -1)\) yw \(F'(5, -5)\).
Casgliad
Mae trawsffurfiadau yn y plân Cartesaidd yn gysyniad pwysig mewn geometreg, gan gwmpasu amrywiol weithrediadau fel cyfieithu, adlewyrchu, cylchdroi a lledu. Drwy ddeall sut mae pob math o drawsffurfiad yn gweithio, gallwn newid safle neu siâp gwrthrych yn y plân yn hawdd. Drwy'r enghreifftiau uchod, gallwn weld cymwysiadau ymarferol amrywiol drawsffurfiadau a sut y gellir eu cyfuno i gyflawni trawsffurfiadau mwy cymhleth. Gobeithio bod yr erthygl hon wedi bod o gymorth i ddeall trawsffurfiadau yn y plân Cartesaidd.
