Enghraifft o Gwestiwn Trafod ar System o Hafaliadau Llinol
Mae Systemau Hafaliadau Llinol (SLE) yn gysyniad sylfaenol a ddysgir yn aml mewn mathemateg ar lefelau uwchradd a thrydyddol. Mae meistroli SLE yn hanfodol oherwydd ei gymhwysiad eang mewn amrywiol feysydd, o ffiseg ac economeg i beirianneg. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl enghraifft o systemau hafaliadau llinol a'u datrysiadau. Byddwn yn defnyddio dulliau amnewid, dileu, a matrics i hwyluso dealltwriaeth.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1: Dull Amnewid
Cwestiwn:
Datryswch y system hafaliadau ganlynol gan ddefnyddio'r dull amnewid:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Datrysiad:
1. Y cam cyntaf yw datrys un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Er enghraifft, gallwn ddatrys yr ail hafaliad ar gyfer \(x\):
\[ x – 2y = -3 \]
\[ x = 2y – 3 \]
2. Amnewidiwch \(x = 2y – 3\) yn yr hafaliad cyntaf:
\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[ 7y = 14 \]
\[ y = 2 \]
3. Nawr, amnewidiwch \(y = 2\) yn yr hafaliad \(x = 2y – 3\):
\[ x = 2(2) – 3 \]
\[x = 4 – 3 \]
\[x = 1 \]
Felly, yr ateb i'r system o hafaliadau yw \(x = 1 \) a \(y = 2 \).
Cwestiwn Enghraifft 2: Dull Dileu
Cwestiwn:
Datryswch y system hafaliadau ganlynol gan ddefnyddio'r dull dileu:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Datrysiad:
1. Y cam cyntaf yw gwneud cyfernod un o'r newidynnau yr un fath yn y ddau hafaliad. Gallwn luosi'r ail hafaliad â 2 i wneud cyfernod \(y\) yr un fath:
\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]
2. Adio'r ddau hafaliad i ddileu \(y\):
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
[x = \frac{30}{13} \]
3. Amnewidiwch \( x = \frac{30}{13} \) i'r hafaliad cyntaf:
[3\left(\frac{30}{13}\right) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
Felly, yr atebion i'r system o hafaliadau yw \( x = \frac{30}{13} \) a \( y = \frac{33}{13} \).
Cwestiwn Enghraifft 3: Dull Matrics (Dileu Gaussaidd)
Cwestiwn:
Datryswch y system hafaliadau ganlynol gan ddefnyddio'r dull matrics:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Datrysiad:
1. Ffurf matrics estynedig y system o hafaliadau:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
2 a -1 a 3 a | a 14 \\
4 a 2 a -1 a | a 2
\end{pmatrix} \]
2. Proses dileu Gaussaidd:
– Newidiwch yr ail res i ganlyniad yr ail res minws dwywaith y rhes gyntaf:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
0 a -3 a 1 a | a 2 \\
4 a 2 a -1 a | a 2
\end{pmatrix} \]
– Newidiwch y drydedd res i ganlyniad y drydedd res minws pedair gwaith y rhes gyntaf:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
0 a -3 a 1 a | a 2 \\
0 a -2 a -5 a | a -22
\end{pmatrix} \]
– Newidiwch y drydedd res i ganlyniad y drydedd res ynghyd â dwy ran o dair o'r ail res:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
0 a -3 a 1 a | a 2 \\
0 a 0 a -4 a | a -20
\end{pmatrix} \]
– Newidiwch y drydedd res i ganlyniad y drydedd res wedi'i rhannu â -4:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
0 a -3 a 1 a | a 2 \\
0 a 0 a 1 a | a 5
\end{pmatrix} \]
– Trosi’r ail res i ganlyniad yr ail res ynghyd â’r drydedd res:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
0 a -3 a 0 a | a -3 \\
0 a 0 a 1 a | a 5
\end{pmatrix} \]
– Newidiwch yr ail res i ganlyniad yr ail res wedi'i rannu â -3:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 1 a 1 a | a 6 \\
0 a 1 a 0 a | a 1 \\
0 a 0 a 1 a | a 5
\end{pmatrix} \]
– Newidiwch y rhes gyntaf i ganlyniad y rhes gyntaf minws yr ail res a'r drydedd res:
\[ \begin{pmatrix}
1 a 0 a 0 a | a 0 \\
0 a 1 a 0 a | a 1 \\
0 a 0 a 1 a | a 5
\end{pmatrix} \]
Felly, yr atebion i'r system o hafaliadau yw \(x = 0 \), \(y = 1 \), a \(z = 5 \).
Casgliad
Mae deall y dulliau ar gyfer datrys systemau o hafaliadau llinol yn hanfodol i feistroli mathemateg. Mae dulliau amnewid, dileu, a matrics yn cynnig amrywiol ddulliau o ddod o hyd i'r ateb cywir. Gydag ymarfer cyson a dealltwriaeth gadarn o'r cysyniadau, gall unrhyw un feistroli'r technegau hyn a'u cymhwyso mewn amrywiaeth o gyd-destunau. Gobeithio y bydd yr enghreifftiau a drafodir yn yr erthygl hon yn helpu darllenwyr i ddeall a meistroli systemau o hafaliadau llinol yn well.
