Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Systemau Hafaliadau Llinol ac Anhafaleddau
Mae systemau o hafaliadau ac anghydraddoldebau llinol yn bwnc pwysig mewn mathemateg gyda chymhwysiad eang mewn amrywiol feysydd, megis economeg, gwyddoniaeth a pheirianneg. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod problemau enghreifftiol sy'n cynnwys systemau o hafaliadau ac anghydraddoldebau llinol a sut i'w datrys yn fanwl.
Diffiniad o System o Hafaliadau Llinol
Mae system o hafaliadau llinol yn cynnwys dau neu fwy o hafaliadau llinol sy'n gysylltiedig â'i gilydd. Dyma enghreifftiau:
\[
\begin{achosion}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{cases}
\]
Nod datrys y system hon yw dod o hyd i werthoedd \(x\) a \(y\) sy'n bodloni'r ddau hafaliad ar yr un pryd.
Dulliau ar gyfer Datrys Systemau Hafaliadau Llinol
Mae sawl dull ar gyfer datrys systemau o hafaliadau llinol, gan gynnwys:
1. Dull Amnewid
2. Dull Dileu
3. Dull Matrics (Gwrthdro neu Gauss-Jordan)
Cwestiwn Enghraifft 1: Dull Amnewid
Gadewch i ni ddatrys y system ganlynol gan ddefnyddio'r dull amnewid:
\[
\begin{achosion}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{cases}
\]
Camau:
1. Ynyswch un o'r newidynnau yn un o'r hafaliadau.
O'r hafaliad cyntaf, rydym yn ynysu \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Amnewidiwch y mynegiant a geir yn yr hafaliad arall.
Amnewidiwch \(x = 10 – 2y\) yn yr ail hafaliad:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Datryswch am \(y\):
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Defnyddiwch y gwerthoedd a geir i ddod o hyd i newidynnau eraill.
Amnewidiwch \(y = \frac{25}{7}\) yn ôl i'r mynegiant ar gyfer \(x\):
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Felly, yr atebion i'r system yw \( x = \frac{20}{7} \) a \( y = \frac{25}{7} \).
Cwestiwn Enghraifft 2: Dull Dileu
Nesaf, gadewch i ni ddefnyddio'r dull dileu i ddatrys y system ganlynol:
\[
\begin{achosion}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{cases}
\]
Yn yr achos hwn, gwelwn fod yr ail hafaliad yn lluosrif o'r hafaliad cyntaf. I leihau'r system, gallwn luosi'r hafaliad cyntaf â 2 ac yna ei dynnu o'r ail hafaliad:
1. Lluoswch yr hafaliad cyntaf â 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 ⋅ 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Tynnwch yr hafaliad cyntaf wedi'i luosi o'r ail hafaliad:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Mae hyn yn rhoi \(0 = 0\), sy'n dangos bod gan y system atebion anfeidraidd a bod yr hafaliadau hyn yn ddibynnol.
Cwestiwn Enghraifft 3: Anghydraddoldebau Llinol
Mae anghydraddoldebau llinol yn dilyn egwyddorion tebyg i hafaliadau llinol, ond maent yn cynnwys arwyddion anghydraddoldeb fel \(<, ≤, >, ≤\). Gadewch i ni edrych ar enghraifft syml:
\[
\begin{achosion}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Camau: 1. Rydym yn defnyddio'r dull graffigol i bennu rhanbarth datrysiad y system hon. Graffiwch bob anghydraddoldeb. 2. Troswch yr anghydraddoldeb yn hafaliad i bennu'r llinell ffin: Ar gyfer \(3x - y < 7\), y llinell ffin yw \(3x - y = 7\)
