Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Un Math o Gymharebau Trigonometreg: tan θ
Mae trigonometreg yn gangen o fathemateg sy'n astudio'r berthynas rhwng onglau a hyd ochrau mewn trionglau. Un gymhareb trigonometreg a drafodir yn aml yw'r tangiad (tan). Yn yr erthygl hon, byddwn yn canolbwyntio ar ddefnyddio'r gymhareb tan mewn gwahanol fathau o broblemau ac yn trafod sawl enghraifft sy'n cynnwys tan θ.
Diffiniad o tan θ
Diffinnir tangiad ongl θ fel cymhareb hyd yr ochr gyferbyn â hyd yr ochr gyfagos mewn triongl sgwâr. Yn fathemategol, ysgrifennir hyn fel:
\[ \tan θ = \frac{\text{ochr gyferbyn}}{\text{ochr gyfagos}} \]
Yn y cylch uned, gellir dehongli tan hefyd fel y gymhareb rhwng cyfesuryn y (ochr flaen) a chyfesuryn x (ochr ochr) pwynt ar y cylch sydd un uned i ffwrdd o'r canol.
Y ffwythiant tan mewn Mathemateg a Ffiseg
Defnyddir trigonometreg, yn enwedig y ffwythiant tan, mewn amrywiaeth o gymwysiadau mathemategol a ffisegol. Er enghraifft, mewn ffiseg glasurol, defnyddir y ffwythiant tan wrth ddadansoddi symudiad taflegrau, ac mewn peirianneg, fe'i defnyddir i gyfrifo ongl gogwydd neu raddiant arwyneb.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Dyma rai cwestiynau enghreifftiol a'u trafodaethau i ddeall y defnydd o tan θ yn fwy manwl.
Cwestiwn 1: Cyfrifo tan θ triongl sgwâr
O ystyried: Mae gan driongl sgwâr hyd yr ochr flaen gyferbyn ag ongl θ o 4 cm a hyd yr ochr sy'n gyfagos i ongl θ o 3 cm. Cyfrifwch werth tan θ.
Trafodaeth:
Defnyddiwch y diffiniad o tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{ochr ochr}} \]
Amnewidiwch y gwerthoedd hysbys:
[tan θ = \frac{4}{3} \]
Felly, gwerth tan θ yw ∫( \frac{4}{3} \).
Cwestiwn 2: Pennu hyd ochr gan ddefnyddio tan θ
O ystyried: Mae triongl sgwâr gydag ongl θ yn hysbys bod tan θ = 0.75. Hyd yr ochr gyferbyn ag ongl θ yw 8 cm. Cyfrifwch hyd yr ochr gyferbyn â'r ongl θ.
Trafodaeth:
Defnyddiwch y diffiniad o tan i ddod o hyd i hyd yr ochr gyferbyn:
\[ \tan θ = \frac{\text{ochr flaen}}{\text{ochr ochr}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{ochr flaen}}{8} \]
Lluoswch y ddwy ochr ag 8 i ddatrys yr hafaliad.
\[ \text{ochr flaen} = 0.75 \times 8 \]
\[ \text{ochr flaen} = 6 cm \]
Felly, hyd yr ochr flaen yw 6 cm.
Cwestiwn 3: Cyfrifo ongl θ os yw tan θ yn hysbys
O ystyried: Gwyddys bod triongl sgwâr yn tan θ = 1. Enwch yr ongl θ.
Trafodaeth:
Mae tan ongl yn hafal i 1 pan fo'r ochr gyferbyn a'r ochr gyfagos yn gyfartal o ran hyd. Mewn trigonometreg sylfaenol, mae hyn yn digwydd ar ongl 45°.
Felly, gwerth θ yw 45°.
Cwestiwn 4: Defnyddio Tan θ mewn problemau algebra
O ystyried: Mae rhaff wedi'i chlymu o ben polyn sydd 15 metr o uchder i bwynt ar y ddaear sydd 20 metr o waelod y polyn. Cyfrifwch tan θ, lle mae θ yn cynrychioli'r ongl a ffurfir gan y rhaff a'r polyn.
Trafodaeth:
Defnyddiwch y diffiniad o tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{ochr flaen (uchder polyn)}}{\text{ochr ochr (pellter llorweddol)}} \]
[tan θ = \frac{15}{20} \]
Symleiddiwch y ffracsiwn:
[tan θ = \frac{3}{4} \]
Felly, gwerth tan θ yw ∫( \frac{3}{4} \).
Cwestiwn 5: Pennu uchder o bellter ac ongl gogwydd
O ystyried: Mae arsylwr yn sefyll 100 metr o adeilad tal. Tan θ yr arsylwad o safle'r arsylwr i ben yr adeilad yw \(tan 30^\circ\). Pennwch uchder yr adeilad.
Trafodaeth:
Mae'n hysbys bod \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{ochr flaen (uchder adeilad)}}{\text{ochr ochr (pellter)} } \]
Plygiwch y gwerthoedd hysbys i'r hafaliad
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{uchder adeilad}}{100} \]
Lluoswch y ddwy ochr â 100 i ynysu'r uchder.
\[ \text{uchder adeilad} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{uchder adeilad} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{uchder adeilad} ≈ 57.73 \text{ metr} \]
Felly, mae uchder yr adeilad tua 57.73 metr.
Cwestiwn 6: Pennu'r ongl o uchder a phellter
O ystyried: Rydych chi'n gwybod bod uchder tŵr yn 50 metr a bod y pellter llorweddol o'r man gwylio i waelod y tŵr yn 70 metr. Pennwch ongl yr uchder i ben y tŵr.
Trafodaeth:
\[ \tan θ = \frac{\text{uchder y tŵr}}{\text{pellter llorweddol}} \]
[tan θ = \frac{50}{70} \]
[tan θ = \frac{5}{7} \]
I ddod o hyd i θ, rydym yn defnyddio'r ffwythiant tangiad gwrthdro (tan⁻¹) neu arctan.
\[ θ = \tan⁻¹ ( \frac{5}{7}) \]
Gan ddefnyddio cyfrifiannell neu dabl trigonometreg, gallwn ddod o hyd i werth θ.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Felly, mae ongl yr uchder i ben y twôr tua 35.54°.
Casgliad
Mae trigonometreg yn offeryn pwerus mewn sawl maes gwyddoniaeth. Mae'r tangiad, er enghraifft, yn gymhareb syml ond pwerus y gellir ei defnyddio i ddatrys amrywiol broblemau sy'n cynnwys onglau a hyd ochrau. Drwy ddeall ei ddiffiniad a sut i'w ddefnyddio, gallwn ddatrys ystod eang o broblemau geometreg a ffiseg. Drwy ymarfer problemau fel yr enghraifft uchod, gallwn ddod yn fwy medrus wrth ddefnyddio tan θ mewn cyfrifiadau bob dydd.
