Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Hafaliad Llinell Tangiad i Gylch
Rhagymadrodd
Mae hafaliad tangiad i gylch yn bwnc pwysig mewn geometreg ddadansoddol. Gall deall sut i bennu hafaliad tangiad i gylch helpu i ddatrys amrywiaeth eang o broblemau mathemateg ar lefelau canolradd i uwch. Bydd yr erthygl hon yn trafod amrywiol broblemau enghreifftiol a dulliau ar gyfer pennu hafaliad tangiad i gylch.
Diffiniad a Damcaniaeth Sylfaenol
Fel arfer gellir cynrychioli cylch yn y plân cyfesurynnau gan hafaliad cwadratig:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
lle mae \((a, b)\) yn ganolbwynt y cylch ac \(r\) yn radiws y cylch.
Mae tangiad i gylch o bwynt allanol yn llinell sy'n cyffwrdd â'r cylch mewn un pwynt yn union. Os ydym yn tybio bod gan y llinell yr hafaliad:
\[ y = mx + c \]
yna gellir mynegi'r amod y bydd y llinell \(y = mx + c\) yn dangiad i'r cylch yn y ffurf ganlynol:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Lle mae \(m\) yn raddiant y llinell tangiad ac mae \(c\) yn gysonyn.
Fformiwla Hafaliad Llinell Tangiad
Ar gyfer tangiad i gylch gyda chanol \((0,0)\) a radiws \(r\), ei hafaliad yn y pwynt \((x_1, y_1)\) ar y cylch yw:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Ond os yw canol y cylch ym mhwynt \((a, b)\), yna'r hafaliad yw:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Cwestiynau a Thrafodaethau Enghreifftiol
Cwestiwn 1
Cylch gyda chanol yn \((3, 4)\) a radiws o 5 uned. Dewch o hyd i hafaliad y llinell tangiad o'r pwynt \((6, 8)\).
Trafodaeth:
Yn y broblem hon, rhoddir cylch i ni gyda chanol o \((3, 4)\), radiws o 5, a rhaid i ni ddod o hyd i hafaliad y llinell tangiad o'r pwynt \((6, 8)\). Dyma'r camau i'w datrys:
1. Gwiriwch nad yw'r pwynt \((6, 8)\) y tu mewn i'r cylch: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Felly mae'r pwynt ar y cylch felly gellir ei ddefnyddio i ddod o hyd i'r llinell tangiad.
2. Gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Symleiddiwch yr hafaliad:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Datblygu:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y - 25 = 50
\]
Hafaliad y llinell tangiad a gafwyd yw:
\[
3x + 4y = 50
\]
Cwestiwn 2
Cylchwch gyda'r hafaliad \[x^2 + y^2 = 16\]. Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad o'r pwynt \((4, 0)\).
Trafodaeth:
Cylch gyda chanol yn \((0, 0)\) a radiws o 4 uned. Y pwynt allanol penodol yw \((4, 0)\).
1. Gan ddefnyddio'r fformiwla ar gyfer cylch gyda chanol \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Amnewid gwerth:
\[
4x + 0 ⋅ y = 4^2
\]
3. Symleiddio:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Sy'n golygu mai'r hafaliad tangiad sydd gennym yw:
\[
x = 4
\]
Cwestiwn 3
Ffurfiwch linell sy'n tangiad i'r cylch \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) yn y pwynt \((-1, 5)\).
Trafodaeth:
Cylch gyda chanol yn \((-2, 3)\) a radiws o 3 uned. Y pwynt tangiad yw \((-1, 5)\).
1. Gwiriwch fod y pwynt yn gorwedd ar y cylch:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{ddim ar y cylch}
\]
Felly, efallai y bydd gwall wrth fewnbynnu'r cwestiwn neu'r pwynt. Os rhoddir \((-2, 6)\) fel y pwynt tangiad:
2. Symleiddio:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Amnewid:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Canlyniad:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Mae'n ymddangos bod y pwynt a'r person hwnnw:
Mae y = 6 yn bendant yn ddilys.
Casgliad gwirio cyfuniad, cofio, 2 ffordd i gyfrif.
dilys/anghywir..Crynodeb hwnnw ynghyd â gar. td 2; siâp dilysu gyda (grid). perimedr plis pob blwch sylw.
Diolch yn fawr iawn a gobeithio bod hyn yn ddefnyddiol i fy ffrindiau.
Yn ogystal, dysgwch y cysyniad o gryfhau dealltwriaeth.
Bydd gan y rhai nad oeddent yn deall o'r blaen, os bydd Duw yn fodlon, gamau llawfeddygol beirniadol mwy manwl.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{yn atal}-fu.
"
