Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Adio Fector yn ôl Cydran
Mae adio fector yn weithdrefn sylfaenol mewn ffiseg a mathemateg a ddefnyddir i ddod o hyd i ganlyniad dau neu fwy o fectorau. Mae'r dull cydran-ddoeth o ddatrys adio fectorau yn ddull arbennig o ddefnyddiol, yn enwedig wrth ddelio â fectorau mewn dau neu dri dimensiwn. Bydd yr erthygl hon yn egluro'r cysyniad o adio fectorau cydran-ddoeth ac yn darparu sawl problem ac ateb enghreifftiol.
Cysyniad Adio Fector Cydrannol
Gellir rhannu pob fector mewn gofod dau ddimensiwn (2D) yn ddwy gydran: cydran x (llorweddol) a chydran y (fertigol). Mewn tri dimensiwn (3D), mae gan fectorau gydran ychwanegol, sef y gydran z (dyfnder).
Tybiwch fod gennym ddau fector A a B. Gellir mynegi cydrannau'r fectorau hyn fel a ganlyn:
– Mae gan fector A gydrannau \(A_x\) ac \(A_y\) mewn 2D (neu hefyd \(A_z\) mewn 3D).
– Mae gan fector B gydrannau \(B_x\) a \(B_y\) mewn 2D (neu hefyd \(B_z\) mewn 3D).
Bydd adio'r ddau fector hyn yn cynhyrchu fector canlyniadol R sydd â'r cydrannau canlynol:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Ar gyfer fectorau mewn 3D, mae'r gydran z hefyd fel a ganlyn:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Ar ôl cyfrifo pob cydran o'r fector canlyniadol, gallwn ddod o hyd i'r modwlws (maint) a chyfeiriad y fector canlyniadol gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (ar gyfer 2D)
Neu ar gyfer 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
A gellir pennu cyfeiriad y fector canlyniadol gan yr ongl i'r echelinau cyfesurynnau.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1
O ystyried dau fector mewn plân dau ddimensiwn:
– Mae A yn \(5 \, \text{uned}\) i'r dwyrain.
– Mae B yn \(3 \, \text{uned}\) i'r gogledd.
Pennwch y fector canlyniadol R.
Trafodaeth
Yn gyntaf, rydym yn trosi'r fector yn ei gydrannau priodol.
– Fector A : \(A = (5, 0)\) oherwydd dim ond cydran x sydd ganddo.
– Fector B : \(B = (0, 3)\) oherwydd mai dim ond cydran y sydd ganddo.
Dyma swm y cydrannau:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Yna'r fector canlyniadol R yw:
\[ R = (5, 3) \]
I gyfrifo hyd (modwlws) y fector R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \tua 5.83 \]
Gellir cyfrifo cyfeiriad y fector R gan ddefnyddio'r ongl θ i'r echelin-x:
[\tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
[\theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Felly, mae gan y fector canlyniadol R hyd o tua 5.83 uned ac mae'n ffurfio ongl o 30.96° gyda'r echelin-x.
Cwestiwn 2
O ystyried dau fector mewn tri dimensiwn:
– Mae A yn (3i + 2j + 1k)
– B yw (1 i + 4 j + 2 k)
Pennwch y fector canlyniadol R.
Trafodaeth
Yn gyntaf, rydym yn nodi cydrannau pob fector:
– Fector A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Fector B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Dyma swm y cydrannau:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Yna'r fector canlyniadol R yw:
\[ R = (4, 6, 3) \]
I gyfrifo hyd (modwlws) y fector R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \tua 7.81 \]
Gellir cyfrifo cyfeiriad y fector R o'i gymharu â'r echelinau x, y, a z gan ddefnyddio cosin y cyfarwyddwr:
[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \tua 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \tua 59.50^\circ \]
[cos(β) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \tua 0.768 \]
[β = arccos(0.768) tua 39.50 o gwmpas]
[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \tua 0.384 \]
[ \gamma = \arccos(0.384) \tua 67.64^\circ \]
Felly, mae gan y fector canlyniadol R hyd o tua 7.81 uned a'i gyfeiriadau o'i gymharu â'r echelinau x, y, a z yw 59.50°, 39.50°, a 67.64°.
Cwestiwn 3
O ystyried dau fector:
– Mae gan P faint o 4 uned ac mae'n ffurfio ongl o 45° i'r echelin-x positif.
– Mae gan Q faint o 6 uned ac mae'n ffurfio ongl o 120° i'r echelin-x positif.
Pennwch y fector canlyniadol R.
Trafodaeth
Yn gyntaf, rydym yn rhannu'r fector yn ei gydrannau x ac y:
– Fector P : (P_x = 4cos(45^circ) = 4 frac{sqrt{2}}{2} tua 2.83), (P_y = 4sin(45^circ) = 4 frac{sqrt{2}}{2} tua 2.83).
– Fector Q: (Q_x = 6 cos(120^circ) = 6 left(-frac{1}{2}) = -3), (Q_y = 6 sin(120^circ) = 6 frac{sqrt{3}}{2} tua 5.2).
Dyma swm y cydrannau:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Yna, y fector canlyniadol R yw:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
I gyfrifo hyd (modwlws) y fector R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \tua 8.03 \]
Cyfeiriad y fector R:
[tan(θ) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
[\theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
Fodd bynnag, mae'r ongl hon yn cael ei mesur o amgylch yr echelin-x negatif, felly'r ongl wirioneddol yng nghyd-destun y broblem yw:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \tua 91.01^\circ \]
Felly, mae gan y fector canlyniadol R hyd o tua 8.03 uned ac mae'n ffurfio ongl o 91.01° gyda'r echelin-x positif.
Mae'r erthygl hon wedi trafod adio fector fesul cydran, gan ddarparu sawl problem ac ateb enghreifftiol. Mae'r dull fesul cydran yn ddefnyddiol iawn wrth symleiddio cyfrifiadau a darparu ffordd systematig o ddatrys problemau fector yn y dimensiwn mathemategol o ofod.
