Cwestiwn Enghraifft yn Trafod Adio Dau Fector Gan Ddefnyddio'r Dull Paralelogram
Mae adio fector yn gysyniad hanfodol mewn ffiseg a mathemateg, a ddefnyddir yn aml i ddisgrifio ffenomenau naturiol a phroblemau bywyd bob dydd. Mae sawl dull ar gyfer adio dau fector, ac un ohonynt yw'r dull paralelogram. Mae'r dull hwn nid yn unig yn reddfol ond mae hefyd yn darparu delweddiad pwerus o sut mae dau fector yn cyfuno i ffurfio fector canlyniadol. Yn yr erthygl hon, byddwn yn edrych ar sawl enghraifft o adio fector gan ddefnyddio'r dull paralelogram, ynghyd â'u hatebion.
Beth yw Fector?
Cyn i ni fynd i mewn i'r problemau enghreifftiol, mae angen i ni ddeall y diffiniad sylfaenol o fector. Mae fector yn faint sydd â maint (hyd) a chyfeiriad. Mae enghreifftiau clasurol o fectorau yn cynnwys cyflymder, cyflymiad, grym, a dadleoliad. Gellir cynrychioli fector fel ei gydrannau (i, j, k) mewn cyfesurynnau Cartesaidd neu fel ei hyd a'i gyfeiriad (ongl).
Dull Paralelogram
Mae'r dull paralelogram yn un ffordd o adio dau fector. Yn y dull hwn, rydym yn cynrychioli dau fector fel dwy ochr paralelogram. Y fector canlyniadol yw croeslin y paralelogram gan ddechrau o fan cychwyn y ddau fector. Yn fathemategol, os oes gennym ddau fector \(\vec{A}\) a \(\vec{B}\), y canlyniad yw \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Dyma'r dull cam wrth gam ar gyfer defnyddio'r dull paralelogram:
1. Lluniwch y fector \(\vec{A}\) o'r man cychwyn.
2. O ddiwedd y fector \(\vec{A}\), lluniwch y fector \(\vec{B}\).
3. Tynnwch linell sy'n baralel â'r fector \(\vec{B}\) o'r pwynt cychwyn \(\vec{A}\).
4. Tynnwch linell sy'n baralel â'r fector \(\vec{A}\) o ddiwedd y fector \(\vec{B}\).
5. Lluniwch groeslin o'r man cychwyn i'r gornel gyferbyn i gael y fector canlyniadol \(\vec{R}\).
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1
Tybiwch fod gennym ddau fector \(\vec{A}\) a \(\vec{B}\):
– Mae gan \(\vec{A}\) hyd (maint) o 5 uned a chyfeiriad o 0° (neu ar hyd yr echelin-x bositif),
– Mae gan \(\vec{B}\) hyd o 3 uned a chyfeiriad o 90° (neu ar hyd yr echelin-y positif).
Beth yw gwerth canlyniadol adio'r ddau fector hyn gan ddefnyddio'r dull paralelogram?
Trafodaeth:
1. Lluniwch y fector \(\vec{A}\) ar hyd yr echelin-x positif gyda hyd o 5 uned.
2. O ddiwedd y fector \(\vec{A}\), lluniwch y fector \(\vec{B}\) ar hyd yr echelin-y positif gyda hyd o 3 uned.
3. O'r man cychwyn \(\vec{A}\), tynnwch linell sy'n gyfochrog â \(\vec{B}\).
4. O ddiwedd \(\vec{B}\), tynnwch linell sy'n gyfochrog â \(\vec{A}\).
5. Y canlyniad yw paralelogram gyda chroeslin sy'n fector canlyniadol \(\vec{R}\).
Gan fod \(\vec{A}\) a \(\vec{B}\) yn berpendicwlar i'w gilydd, gallwn ddefnyddio theorem Pythagoras i gyfrifo hyd y fector canlyniadol:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \tua 5.83 \]
Gellir cyfrifo cyfeiriad y fector canlyniadol gan ddefnyddio trigonometreg. Os yw \(\theta\) yn ongl rhwng y fector canlyniadol a \(\vec{A}\):
[\tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
felly:
[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Felly, mae gan y fector canlyniadol \(\vec{R}\) faint o tua 5.83 uned a chyfeiriad o tua 30.96° o \(\vec{A}\).
Cwestiwn 2
Rhoddir dau fector \(\vec{C}\) a \(\vec{D}\) fel a ganlyn:
– \(\vec{C}\) gyda hyd o 4 uned a chyfeiriad o 45°.
– \(\vec{D}\) gyda hyd o 6 uned a chyfeiriad o 120°.
Pennwch y fector canlyniadol \(\vec{R}\) o adio'r ddau fector.
Trafodaeth:
I adio dau fector nad ydynt yn berpendicwlar i'w gilydd neu mewn siapiau gwahanol, gallwch ddefnyddio cydrannau Cartesaidd.
1. Torrwch \(\vec{C}\) a \(\vec{D}\) yn gydrannau x ac y.
Ar gyfer \(\vec{C}\):
[C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \tua 2.83 \]
[C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \tua 2.83 \]
Ar gyfer \(\vec{D}\):
[D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \tua 5.20 \]
2. Adio cydrannau x ac y y ddau fector:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Cyfrifwch faint a chyfeiriad y fector canlyniadol \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \tua 8.03 \]
[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \tua \tan^{-1}(-47.24) \]
Gan fod y canlyniad yn negatif, rydym yn ychwanegu 180° i gael yr ongl yn y system cwadrant gywir:
[\theta \tua \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \tua 271.93^\circ \]
Felly, mae gan y fector canlyniadol \(\vec{R}\) faint o tua 8.03 uned a chyfeiriad o tua 271.93°, neu gallwn ddweud tua 91.93° o'r echelin-x negatif yn y pedwerydd cwadrant.
Cau
Mae'r dull paralelogram yn ffordd effeithiol a gweledol o adio dau fector. Er y gall y dull hwn ymddangos yn syml ar gyfer fectorau syml, mae'n bwysig deall, ar gyfer fectorau mwy cymhleth, fod angen i ni ddefnyddio cydrannau Cartesaidd a thechnegau algebraidd mwy datblygedig yn aml i gael canlyniadau cywir. Gobeithio bod yr enghreifftiau uchod yn rhoi darlun clir o sut y gellir cymhwyso'r dull hwn mewn gwahanol sefyllfaoedd.
