Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Dynnu Fector
Rhagymadrodd
Mewn mathemateg a ffiseg, mae fectorau yn gysyniad sylfaenol a ddefnyddir i esbonio llawer o ffenomenau naturiol a pheirianneg. Mae fector yn faint sydd â maint a chyfeiriad. Mae rhai enghreifftiau pwysig o fectorau yn cynnwys dadleoliad, cyflymder, cyflymiad a grym. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod tynnu fectorau, er bod y pwnc hwn yn aml yn cael ei bwysleisio yng nghyd-destun cyfuniad fectorau.
Mae tynnu fector yn weithrediad sylfaenol sy'n hanfodol mewn dadansoddi fector. I ymchwilio'n ddyfnach i'r cysyniad hwn, gadewch inni adolygu rhai problemau enghreifftiol a thrafodaethau sy'n gysylltiedig â thynnu fector.
Tynnu Fector
Diffinnir y tynnu fector {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} fel y llawdriniaeth o adio'r fector {\displaystyle \mathbf{A}} gyda'r fector {\displaystyle -\mathbf{B}}, lle mae {\displaystyle -\mathbf{B}} yn fector gyda'r un maint â {\displaystyle \mathbf{B}} ond gyda'r cyfeiriad gyferbyn. Yn fathemategol, gellir ysgrifennu hyn fel:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1: Tynnu Fectorau Dau Ddimensiwn
Tybiwch fod dau fector mewn cyfesurynnau Cartesaidd:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} a {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Cyfrifwch {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw dod o hyd i'r fector negatif o {\displaystyle \mathbf{B}}, sef:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Nesaf, ychwanegwch y fector {\displaystyle \mathbf{A}} gyda {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Perfformiwch adio fector trwy adio pob cydran x ac y:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Felly, canlyniad tynnu'r fectorau {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} yw'r fector (3, 1).
Cwestiwn 2: Tynnu Fectorau Tri Dimensiwn
O ystyried dau fector mewn cyfesurynnau tri dimensiwn:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} a {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Cyfrifwch {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw dod o hyd i'r fector negatif o {\displaystyle \mathbf{Q}}:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Nesaf, ychwanegwch y fector {\displaystyle \mathbf{P}} gyda {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Perfformiwch adio fector trwy adio pob cydran x, y, a z:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Felly, canlyniad tynnu'r fectorau {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} yw'r fector (5, -9, -1).
Cwestiwn 3: Tynnu Fector yn y Plân Cymhleth
Tybiwch fod dau fector yn cael eu cynrychioli gan rifau cymhlyg:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} a {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Cyfrifwch {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw dod o hyd i'r fector negatif o {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Nesaf, ychwanegwch y fector {\displaystyle \mathbf{M}} gyda {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Perfformiwch adio fector trwy adio pob cydran real a dychmygol:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Felly, canlyniad tynnu'r fectorau {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} yw'r rhif cymhlyg 2 + 2i.
Cwestiwn 4: Tynnu Fector yn y System Gyfesurynnau Pegynol
Tybiwch fod dau fector mewn cyfesurynnau pegynol:
Mae gan {\displaystyle \mathbf{U}} faint o 5 ac ongl o 30°,
ac mae gan {\displaystyle \mathbf{V}} faint o 3 ac ongl o 150°.
Cyfrifwch {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw trosi'r fectorau {\displaystyle \mathbf{U}} a {\displaystyle \mathbf{V}} yn gyfesurynnau Cartesaidd.
Ar gyfer {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 cos(30^circ) = 5 left(frac{sqrt{3}}{2}) = 5 0.866 = 4.33
U_y = 5 sin(30^circ) = 5 left(frac{1}{2}) = 5 0.5 = 2.5
Felly {\displaystyle \mathbf{U}} mewn Cartesaidd yw (4.33, 2.5).
Ar gyfer {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 sin(150^circ) = 3 left(frac{1}{2}) = 3 0.5 = 1.5
Felly mae V mewn Cartesaidd yn (-2.598, 1.5).
Y cam nesaf, cyfrifwch y tynnu fector yn Cartesaidd:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Sy'n golygu trwy adio negatif y fector:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Felly, canlyniad tynnu'r fector {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} mewn cyfesurynnau Cartesaidd yw (6.928, 1).
Casgliad
Mae tynnu fector yn weithrediad mathemategol hanfodol mewn llawer o feysydd sy'n defnyddio dadansoddi fector. Boed mewn systemau cyfesurynnau dau ddimensiwn, tri dimensiwn, cymhleth, neu begynol, mae'r egwyddor sylfaenol yr un fath: ychwanegu un fector at negatif fector arall. Mae'r enghreifftiau uchod yn dangos amrywiol ffyrdd o gymhwyso'r llawdriniaeth hon mewn gwahanol gyd-destunau, gan ein helpu i ddeall y cysyniad yn fwy dwfn ac ymarferol.
