Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Gwerth Disgwyliedig y Dosraniad Normal
Mae'r dosraniad arferol, a elwir hefyd yn ddosraniad Gaussaidd, yn un o'r dosraniadau tebygolrwydd parhaus a ddefnyddir amlaf mewn ystadegaeth a thebygolrwydd. Defnyddir y dosraniad hwn yn aml fel rhagdybiaeth sylfaenol mewn amrywiol gasgliadau ystadegol oherwydd ei briodweddau mathemategol ffafriol, megis cymesuredd a'i unigrywiaeth mewn paramedreiddio gyda chymedr (µ) a gwyriad safonol (σ). Bydd yr erthygl hon yn trafod enghreifftiau ac yn trafod gwerth disgwyliedig y dosraniad arferol i roi dealltwriaeth ddyfnach o'r cysyniad hwn.
Deall Dosbarthiad Normal
Mae'r dosraniad arferol wedi'i ddarlunio gan gromlin gloch gymesur, gyda'r rhan fwyaf o werthoedd wedi'u crynhoi o amgylch y gwerth canol, neu'r cymedr. O fewn y dosraniad hwn, mae'r cymedr (µ) a'r gwyriad safonol (σ) yn ddau baramedr pwysig sy'n pennu lleoliad a maint y lledaeniad yn y data.
Y ffwythiant dwysedd tebygolrwydd (PDF) o'r dosraniad arferol yw:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Ble:
– \( \mu \) yw'r cymedr neu'r cyfartaledd
– \( \sigma \) yw'r gwyriad safonol
– \(x \) yw newidyn ar hap
Gwerth Disgwyliedig mewn Dosbarthiad Normal
Mae gwerth disgwyliedig newidyn ar hap gyda dosraniad normal yn hafal i gymedr y dosraniad. Os yw \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), yna'r gwerth disgwyliedig \( E(X) \) yw:
[E(X) = μu]
Gadewch i ni barhau gyda rhai enghreifftiau o broblemau ynghylch gwerthoedd disgwyliedig mewn dosraniadau arferol i gryfhau ein dealltwriaeth.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1:
Tybiwch fod \( X \) yn newidyn ar hap sydd wedi'i ddosbarthu'n normal gyda \( \mu = 50 \) a \( \sigma = 10 \). Cyfrifwch werth disgwyliedig \( X \).
Trafodaeth:
Fel y soniwyd yn gynharach, mewn dosraniad normal, mae'r gwerth disgwyliedig \( E(X) \) yn hafal i \( \mu \). Felly,
[E(X) = μ = 50]
Cwestiwn Enghraifft 2:
O ystyried bod newidyn ar hap Y wedi'i ddosbarthu'n normal gyda mu = 120 a sigma = 15. Dewch o hyd i werth disgwyliedig Y.
Trafodaeth:
Yn yr un modd â'r enghraifft gyntaf, gwerth disgwyliedig \(Y \) yw gwerth canol neu gymedr y dosraniad arferol, sef:
[E(Y) = μ = 120]
Cwestiwn Enghraifft 3:
Os yw'r newidyn ar hap \( Z \) yn dilyn dosraniad normal gyda \( \mu = 0 \) a \( \sigma = 1 \) (dosraniad normal safonol), beth yw gwerth disgwyliedig \( Z \)?
Trafodaeth:
Mae gan y dosraniad normal safonol gymedr \( \mu = 0 \), felly'r gwerth disgwyliedig \( E(Z) \) yw:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Cwestiwn Enghraifft 4:
Tybiwch fod \( W \) yn newidyn ar hap wedi'i ddosbarthu'n normal gyda chymedr \( \mu = 75 \) a gwyriad safonol \( \sigma = 20 \). Os diffiniwn newidyn ar hap newydd \( V = 2W + 3 \), beth yw gwerth disgwyliedig \( V \)?
Trafodaeth:
I ddod o hyd i werth disgwyliedig \(V \), mae angen i ni ddefnyddio priodwedd llinoledd y gwerth disgwyliedig. O ystyried \(V = 2W + 3 \), yna:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Yn seiliedig ar briodwedd llinoledd y gwerth disgwyliedig, gallwn wahanu'r cysonyn o'r newidyn ar hap:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Gan wybod mai gwerth disgwyliedig cysonyn yw'r cysonyn ei hun:
\[ E(3) = 3 \]
A gwerth disgwyliedig \( W \) yw cymedr y dosraniad arferol \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Felly,
\[ E(V) = 2 \times 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Cwestiwn Enghraifft 5:
Mae'r newidyn ar hap Q yn dilyn dosraniad normal gyda chymedr (mu = 40) a gwyriad safonol (sigma = 5). Beth yw gwerth disgwyliedig Q os yw U = Q/2?
Trafodaeth:
Rydym yn defnyddio'r un egwyddor ag yn enghraifft 4, sef priodwedd llinoledd y gwerth disgwyliedig. O ystyried bod \( U = Q/2 \), yna:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Yn seiliedig ar briodwedd llinoledd y gwerth disgwyliedig:
[E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Gwyddom mai gwerth disgwyliedig \(Q \) yw cymedr y dosraniad arferol \(Q \):
[E(Q) = ∫mu = 40]
Felly,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Casgliad
Mewn dosraniad normal, mae gwerth disgwyliedig newidyn ar hap bob amser yn hafal i gymedr (µ) y dosraniad. Mae'r problemau enghreifftiol uchod yn dangos amrywiol amodau ar gyfer cyfrifo'r gwerth disgwyliedig gan ddefnyddio'r priodwedd llinoledd. Mae deall y cysyniad sylfaenol hwn yn ei gwneud hi'n haws ymdrin â phroblemau dosraniad normal mewn ystadegaeth a thebygolrwydd.
Mae'r dosraniad arferol yn hanfodol mewn ystadegaeth oherwydd ei fod yn cael ei ddefnyddio mewn ystod eang o gymwysiadau ymarferol, gan gynnwys profi damcaniaethau, amcangyfrif paramedrau, ac amryw gasgliadau ystadegol eraill. Mae dealltwriaeth dda o werth disgwyliedig y dosraniad hwn yn gam cyntaf pwysig wrth ddadansoddi data.
Gobeithio bod yr erthygl hon yn rhoi esboniad clir a defnyddiol o'r gwerth disgwyliedig yn y dosraniad arferol ynghyd â chwestiynau a thrafodaethau enghreifftiol perthnasol.
