Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Gwerth Disgwyliedig y Dosraniad Binomial
Mae'r dosraniad binomial yn ddosraniad arwahanol a ddefnyddir yn aml mewn ystadegau i ddisgrifio tebygolrwydd nifer penodol o lwyddiannau mewn nifer o dreialon a gynhelir yn annibynnol. Mae'r dosraniad hwn yn ddefnyddiol iawn mewn amrywiol feysydd, megis economeg, bioleg, a'r gwyddorau cymdeithasol. Un cysyniad pwysig i'w ddeall yn y dosraniad binomial yw gwerth disgwyliedig. Bydd yr erthygl hon yn trafod y cysyniad o werth disgwyliedig yn y dosraniad binomial trwy sawl problem enghreifftiol a'u trafodaeth.
Diffiniad o Ddosbarthiad Binomial
Mae'r dosraniad binomial yn disgrifio nifer y llwyddiannau mewn treialon sydd â dau ganlyniad posibl: llwyddiant neu fethiant. Nodweddir y dosraniad hwn gan ddau brif baramedr:
– \(n \): nifer y treialon
– \( p \): tebygolrwydd llwyddiant mewn un treial
Yn aml, dynodir y dosraniad hwn fel B(n, p). Y ffwythiant màs tebygolrwydd (PMF) o'r dosraniad binomial yw:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
lle mae \( \binom{n}{k} \) yn gyfernod binomial, a gyfrifir fel:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Gwerth Disgwyliedig mewn Dosraniad Binomial
Gwerth disgwyliedig dosraniad binomial yw nifer cyfartalog y llwyddiannau mewn \(n \) treialon, ac fe'i ffurfir fel:
\[ E(X) = n \times p \]
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn:
Tybiwch fod ymchwilydd yn cynnal arbrawf yn plannu 10 eginblanhigyn, pob un â thebygolrwydd twf o 0.7. Beth yw'r nifer disgwyliedig o eginblanhigyn a fydd yn tyfu?
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.7 \)
Cyfrifir y gwerth disgwyliedig, \( E(X) \), fel:
\[ E(X) = n \times p \]
[E(X) = 10 x 0.7]
\[ E(X) = 7 \]
Felly, y gwerth disgwyliedig o nifer yr hadau sy'n tyfu yw 7 had.
Cwestiwn Enghraifft 2
Cwestiwn:
Mewn arholiad, y tebygolrwydd y bydd myfyriwr yn ateb pob cwestiwn yn gywir yw 0.8. Os oes 15 cwestiwn yn yr arholiad, beth yw'r nifer disgwyliedig o atebion cywir?
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(n = 15 \)
– \(p = 0.8 \)
Cyfrifir y gwerth disgwyliedig, \( E(X) \), fel:
\[ E(X) = n \times p \]
[E(X) = 15 x 0.8]
\[ E(X) = 12 \]
Felly, y gwerth disgwyliedig o nifer yr atebion cywir yw 12 cwestiwn.
Cwestiwn Enghraifft 3
Cwestiwn:
Mae cwmni argraffu yn cynhyrchu dalennau o bapur gyda thebygolrwydd o 0.02 o ddiffygion. Mewn un diwrnod gwaith, mae'r ffatri'n cynhyrchu 500 o ddalennau o bapur. Beth yw'r nifer disgwyliedig o ddalennau papur diffygiol mewn un diwrnod?
Trafodaeth:
Mae'n hysbys:
– \(n = 500 \)
– \(p = 0.02 \)
Cyfrifir y gwerth disgwyliedig, \( E(X) \), fel:
\[ E(X) = n \times p \]
[E(X) = 500 x 0.02]
\[ E(X) = 10 \]
Felly, y gwerth disgwyliedig o nifer y dalennau papur diffygiol mewn un diwrnod yw 10 dalen.
Ehangu Cysyniadau mewn Dealltwriaeth
1. Amrywiant a Gwyriad Safonol:
Yn ogystal â'r gwerth disgwyliedig, mae hefyd yn bwysig deall yr amrywiant a'r gwyriad safonol yn y dosraniad binomial. Mae amrywiant y dosraniad binomial wedi'i lunio fel:
\[ \text{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
Y gwyriad safonol yw gwreiddyn sgwâr yr amrywiant:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Cymhwysiad mewn Arholiadau Ystadegaeth:
Mewn arholiadau neu brofion academaidd, gellir defnyddio sgoriau disgwyliedig i fesur sgôr gyfartalog ddisgwyliedig myfyriwr neu grŵp o fyfyrwyr, gan gynorthwyo i ddadansoddi cwricwla addysgol ac asesu effeithiolrwydd addysgu.
3. Astudiaethau Achos mewn Epidemioleg:
Er enghraifft, mewn astudiaeth o drosglwyddo clefydau, gellir modelu'r tebygolrwydd y bydd claf yn gwella gan ddefnyddio dosraniad binomial. Mae gwybod y gwerth disgwyliedig yn caniatáu i weithwyr gofal iechyd proffesiynol gynllunio'r adnoddau meddygol angenrheidiol yn seiliedig ar y nifer a ragwelir o gleifion sydd wedi gwella.
Casgliad
Mae'r dosraniad binomial yn offeryn pwysig mewn ystadegaeth sy'n helpu i ddisgrifio tebygolrwydd llwyddiant mewn cyfres o dreialon. Mae'r gwerth disgwyliedig yn y dosraniad binomial yn gysyniad allweddol sy'n disgrifio'r nifer cyfartalog o lwyddiannau disgwyliedig. Trwy'r enghreifftiau a drafodwyd, gallwn weld sut mae gwerth disgwyliedig yn cael ei gyfrifo a'i gymhwyso mewn gwahanol gyd-destunau. Mae dealltwriaeth gadarn o'r cysyniad hwn yn galluogi ymchwilwyr ac ymarferwyr i wneud cynlluniau gwell a gwneud penderfyniadau mwy gwybodus yn seiliedig ar ddata tebygolrwydd.
Nid yn unig y mae'r dosraniad binomial yn bwysig mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth ond mae hefyd yn berthnasol iawn mewn amrywiaeth o gymwysiadau ymarferol. Felly, mae astudio'r dosraniad hwn a'r cysyniad o werth disgwyliedig yn darparu sylfaen gadarn ar gyfer dadansoddi data a gwneud penderfyniadau.
