Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Gylchoedd a Thangiadau
Mae cylchoedd a thangiadau yn ddau bwnc a drafodir yn aml mewn mathemateg, yn enwedig ar lefel ysgol uwchradd. Mae deall y cysyniad a'r cymhwysiad o thangiadau i gylchoedd yn hanfodol ar gyfer dyfnhau eich gwybodaeth am geometreg. Bydd yr erthygl hon yn darparu problemau enghreifftiol a thrafodaethau ar gylchoedd a thangiadau i roi dealltwriaeth ddyfnach i ddarllenwyr.
Cyflwyniad i Ddamcaniaeth Cylchoedd a Thangiadau
Cylch
Cylch yw set o bwyntiau mewn plân sydd yr un pellter o bwynt sefydlog o'r enw canol y cylch. Gelwir y pellter sefydlog hwn yn radiws y cylch. Yn fathemategol, gellir diffinio cylch gan yr hafaliad:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
lle mae \((a, b)\) yn gyfesurynnau canol y cylch ac \(r\) yn radiws.
Tangent
Mae tangiad i gylch yn llinell sy'n cyffwrdd â'r cylch mewn un pwynt yn union. Gelwir y pwynt hwn yn bwynt tangiad. Prif nodwedd tangiad yw ei fod yn berpendicwlar i'r radiws a dynnir o ganol y cylch i'r pwynt tangiad.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1: Pennu Hafaliad y Llinell Tangiad
Cwestiwn:
O ystyried cylch gyda chanol yn \( (2, 3) \) a radiws 5. Pennwch hafaliad y llinell tangiad i'r cylch ym mhwynt \( P \) gyda chyfesurynnau \( (5, 7) \).
Trafodaeth:
Cam 1: Gwnewch yn siŵr bod y pwynt \(P \) mewn gwirionedd ar y cylch.
I wirio a yw \( P (5, 7) \) ar gylch gyda chanol \( (2, 3) \) a radiws \( 5 \), amnewidiwch gyfesurynnau \( P \) i hafaliad y cylch:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Gan fod y cyfartaledd yn wir, mae'r pwynt \( P \) yn gorwedd ar y cylch.
Cam 2: Pennwch raddiant y radiws sy'n mynd trwy \( (2, 3) \) a \( (5, 7) \):
\[ m_{radiws} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Cam 3: Graddiant y llinell tangiad sy'n berpendicwlar i raddiant y radiws (graddiant y lluoswm yw -1):
\[ m_{tangiad} = -\frac{1}{m_{radiws}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Cam 4: Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad gan ddefnyddio'r pwynt \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
[y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5)]
Symleiddio:
[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Felly, hafaliad y llinell tangiad yw:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Cwestiwn 2: Pennu'r Pwynt Tangiad o'r Hafaliad Llinell
Cwestiwn:
O ystyried cylch gyda'r hafaliad \( x^2 + y^2 = 25 \) a llinell \( y = \frac{3}{4}x + 2 \). Penderfynwch y pwynt tangiad rhwng y llinell a'r cylch.
Trafodaeth:
Cam 1: Amnewid hafaliad y llinell i hafaliad y cylch:
Hafaliad cylch:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Amnewidiwch (y = \frac{3}{4}x + 2) i hafaliad y cylch:
[x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
[x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16} x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Cam 2: Symleiddiwch yr hafaliad:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Cam 3: Dod o hyd i'r gwreiddiau gan ddefnyddio'r fformiwla cwadratig:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
[x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Dewis \(x \) dilys yn seiliedig ar y pwynt tangiad (dim ond un \(x \) fydd yn cynhyrchu pwynt tangiad):
[x = \frac{141.501}{50} \tua 2.83 \]
\[ x \tua 2.83 \]
Cam 4: Amnewidiwch \(x \) i hafaliad y llinell i gael \(y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \tua 2.12 + 2 \]
\[ y \tua 4.12 \]
Felly, y pwynt tangiad rhwng y llinell (y = \frac{3}{4}x + 2) a'r cylch (x^2 + y^2 = 25) yw (2.83, 4.12).
Casgliad
Mae meistroli cysyniadau cylchoedd a thangiadau yn cynnwys deall hanfodion geometreg a'r gallu i ddatrys problemau gan ddefnyddio hafaliadau mathemategol. Mae problemau fel y rhai uchod yn helpu myfyrwyr i ymarfer cymhwyso damcaniaeth mewn sefyllfaoedd mwy pendant. Gydag ymarfer cyson, disgwylir i fyfyrwyr ddeall a datrys problemau yn haws.
