Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Gydberthynas Moment Cynnyrch
Mae Cydberthynas Cynnyrch-Moment, a elwir hefyd yn Gydberthynas Pearson, yn ddull ystadegol a ddefnyddir i fesur cryfder a chyfeiriad perthynas linellol rhwng dau newidyn. Mae'r dull hwn yn ddefnyddiol mewn amrywiol feysydd, o ymchwil academaidd a dadansoddi busnes i werthuso arbrofion yn y gwyddorau naturiol. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol a'u datrysiadau ar gyfer cyfrifo Cydberthynas Cynnyrch-Moment.
Rhagymadrodd
Cyn i ni fynd i mewn i'r cwestiynau enghreifftiol, mae'n syniad da deall y cysyniad sylfaenol o Gydberthynas Moment Cynnyrch. Y fformiwla gyffredinol a ddefnyddir i gyfrifo cyfernod cydberthynas Pearson (\(r\)) yw:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Ble:
– \(n \) yw nifer y parau data.
– \( \sum{XY} \) yw swm cynhyrchion \( X \) a \( Y \).
– \( \sum{X} \) yw swm y newidynnau \( X \).
– \( \sum{Y} \) yw swm y newidynnau \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) yw swm sgwariau'r newidyn \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) yw swm sgwariau'r newidyn \( Y \).
Mae cyfernod cydberthynas Pearson (\(r \)) bob amser rhwng -1 ac 1. Mae cydberthynas bositif yn dangos bod y ddau newidyn yn symud i'r un cyfeiriad, tra bod cydberthynas negyddol yn dangos wrth i un newidyn gynyddu, bod y llall yn lleihau. Os \(r = 0 \), yna nid oes cydberthynas llinol rhwng y ddau newidyn.
Cwestiwn Enghraifft 1
Dyddiad
Dyma ddata sgôr arholiad mathemateg a ffiseg ar gyfer 5 myfyriwr:
| Myfyriwr | Mathemateg (X) | Ffiseg (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Camau i'w Datrys
1. Cyfrifo Cydrannau Pwysig:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Rhowch yn y fformiwla:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Cyfrifo Canlyniadau:
– Rhifiadur: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Enwadur:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \tua \sqrt{976856} \tua 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \tua 0.633 \]
Felly, mae cyfernod cydberthynas Pearson rhwng sgoriau profion mathemateg a ffiseg yn 0.633, sy'n dangos bod cydberthynas gadarnhaol gymedrol rhwng y ddau newidyn.
Cwestiwn Enghraifft 2
Dyddiad
Dyma ddata ar werth gwerthiant a gwariant hysbysebu o 6 mis mewn cwmni:
| Mis | Hysbysebu (X) | Gwerthiannau (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Camau i'w Datrys
1. Cyfrifo Cydrannau Pwysig:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Rhowch yn y fformiwla:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Cyfrifo Canlyniadau:
– Rhifiadur: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Enwadur:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \tua \sqrt{9343200000000} \tua 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \tua 0.981 \]
Felly, mae cyfernod cydberthynas Pearson rhwng gwariant hysbysebu a gwerth gwerthiant yn 0.981, sy'n dangos bod cydberthynas gadarnhaol gref iawn rhwng y ddau newidyn.
Casgliad
Mae cyfernod cydberthynas Pearson (\(r\)) yn offeryn defnyddiol iawn ar gyfer deall y berthynas linellol rhwng dau newidyn. Yn yr enghreifftiau a ddarperir, gwelwn sut i gyfrifo'r gwerth \(r\) a'i ddehongli. Mae cydberthynas uwch (yn agosach at 1 neu -1) yn dynodi perthynas gryfach, tra bod cydberthynas is (yn agosach at 0) yn dynodi perthynas wannach. Mae'n bwysig nodi nad yw cydberthynas yn awgrymu achosiaeth; mae'n syml yn dangos bod perthynas rhwng y ddau newidyn.
