Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Gyfansoddiad Swyddogaeth
Mae cyfansoddi ffwythiannau yn gysyniad mewn mathemateg lle mae dau ffwythiant yn cael eu cyfuno'n un. Os yw \(f \) a \(g \) yn ddau ffwythiant, yna mae cyfansoddi \(f \) a \(g \) yn ffwythiant newydd a ddiffinnir fel \((f \circ g)(x) \) sy'n golygu \(f(g(x)) \). Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol a sut i'w datrys sy'n gysylltiedig â chyfansoddi ffwythiannau.
1. Dealltwriaeth Sylfaenol o Gyfansoddiad Swyddogaethol
Cyn i ni fynd i mewn i'r cwestiynau enghreifftiol, gadewch i ni ddeall yn fyr beth yw cyfansoddiad swyddogaeth.
Tybiwch fod dau ffwythiant \(f \) a \(g \):
– Swyddogaeth \( f \) : \( x \mapsto f(x) \)
– Swyddogaeth \(g \) : \(x \mapsto g(x) \)
Mae cyfansoddiad \(f \) a \(g \), wedi'i ysgrifennu fel \(f \circ g \), yn ffwythiant sy'n bodloni:
[(f \circ g)(x) = f(g(x))]
Yma, \(g(x) \) yw'r mewnbwn i'r ffwythiant \(f \).
2. Cwestiwn Enghraifft 1
Cwestiwn:
O ystyried y ffwythiant \(f(x) = 2x + 3 \) a'r ffwythiant \(g(x) = x – 5 \). Penderfynwch \((f \circ g)(x) \) a \((g \circ f)(x) \).
Trafodaeth:
Gadewch i ni gyfrifo'r cyfansoddiad cyntaf \( (f \circ g)(x) \):
[(f \circ g)(x) = f(g(x))]
Y cam cyntaf, rydym yn mewnosod \(g(x) \) i mewn i \(f(x) \):
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
Ail gam, rydym yn nodi \(x – 5 \) i'r ffwythiant \(f \):
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Felly, (f = g)(x) = 2x – 7).
Nawr gadewch i ni gyfrifo'r ail gyfansoddiad \( (g \circ f)(x) \):
[(g \circum f)(x) = g(f(x))]
Yn gyntaf, rydym yn mewnosod \(f(x) \) i mewn i \(g(x) \):
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]
Ail gam, rydym yn mewnosod \( 2x + 3 \) i'r ffwythiant \( g \):
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Felly, (g = 2x – 2).
3. Cwestiwn Enghraifft 2: Cyfansoddiad Ffwythiannau gyda Ffwythiannau Cwadratig
Cwestiwn:
O ystyried y ffwythiant \(f(x) = x^2 + 1 \) a'r ffwythiant \(g(x) = 3x – 4 \). Penderfynwch \((f \circ g)(x) \) a \((g \circ f)(x) \).
Trafodaeth:
Gadewch i ni gyfrifo'r cyfansoddiad cyntaf \( (f \circ g)(x) \):
[(f \circ g)(x) = f(g(x))]
Y cam cyntaf, rydym yn mewnosod \(g(x) \) i mewn i \(f(x) \):
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
Ail gam, rydym yn nodi \( 3x – 4 \) yn y ffwythiant \( f \):
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x ⋅ 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Felly, \((f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
Nawr gadewch i ni gyfrifo'r ail gyfansoddiad \( (g \circ f)(x) \):
[(g \circum f)(x) = g(f(x))]
Yn gyntaf, rydym yn mewnosod \(f(x) \) i mewn i \(g(x) \):
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
Ail gam, rydym yn nodi \( x^2 + 1 \) yn y ffwythiant \( g \):
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Felly, (g = 3x² – 1).
4. Cwestiwn Enghraifft 3: Cyfansoddiad Ffwythiannau Trigonometreg
Cwestiwn:
O ystyried y ffwythiant \(f(x) = \sin x \) a'r ffwythiant \(g(x) = x^2 \). Penderfynwch \((f \circ g)(x) \) a \((g \circ f)(x) \).
Trafodaeth:
Gadewch i ni gyfrifo'r cyfansoddiad cyntaf \( (f \circ g)(x) \):
[(f \circ g)(x) = f(g(x))]
Y cam cyntaf, rydym yn mewnosod \(g(x) \) i mewn i \(f(x) \):
\[ g(x) = x^2 \]
[f(g(x)) = f(x^2)]
Yn ail gam, rydym yn nodi \( x^2 \) i'r ffwythiant \( f \):
[f(x^2) = \sin(x^2)]
Felly, (f⁻¹ g)(x) = sin (x²)).
Nawr gadewch i ni gyfrifo'r ail gyfansoddiad \( (g \circ f)(x) \):
[(g \circum f)(x) = g(f(x))]
Yn gyntaf, rydym yn mewnosod \(f(x) \) i mewn i \(g(x) \):
[f(x) = \sin x \]
[g(f(x)) = g(sin x)]
Ail gam, mewnosodwn \( \sin x \) i'r ffwythiant \(g \):
[g(sin x) = (sin x)^2]
\[ = \sin^2 x \]
Felly, (g o amgáu f)(x) = sin² x).
Casgliad
Mae cyfansoddi ffwythiannau yn ffordd o gyfuno dau ffwythiant yn un ffwythiant. Drwy'r enghreifftiau uchod, dysgon ni fod y broses o gyfansoddi ffwythiannau yn cynnwys amnewid un ffwythiant am un arall. Mae canlyniad terfynol cyfansoddi ffwythiannau yn dibynnu'n fawr ar y drefn y mae'r ffwythiannau'n cael eu cymhwyso gyntaf.
Mae'n bwysig deall nad yw \( (f \circ g)(x) \) bob amser yr un peth â \( (g \circ f)(x) \), a gall y gwahaniaeth hwn fod yn arwyddocaol iawn mewn amrywiol gymwysiadau mathemateg a gwyddoniaeth. Felly, mae deall y pethau sylfaenol a sut i gyfrifo cyfansoddiad swyddogaethau yn bwysig iawn i unrhyw un sy'n astudio mathemateg ar lefel ganolradd neu uwch.
Gobeithio bod y drafodaeth a'r cwestiynau enghreifftiol uchod yn ddefnyddiol ac yn helpu darllenwyr i ddeall cyfansoddiad swyddogaethau.
