Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Cyfuniadau o Drawsnewidiadau Swyddogaethau
Mae trawsffurfiadau ffwythiannau yn bwnc pwysig mewn mathemateg, yn enwedig wrth astudio ffwythiannau a'u graffiau. Mae cymhwyso trawsffurfiadau ffwythiannau yn cynnwys amryw o weithrediadau megis cyfieithiadau, adlewyrchiadau, ymlediadau a chylchdroadau. Yn yr erthygl hon, byddwn yn archwilio beth yw trawsffurfiadau ffwythiannau cyfun a sut i'w datrys trwy sawl problem enghreifftiol.
Beth yw Cyfuniad Trawsnewid Swyddogaeth?
Mae trawsnewid ffwythiant yn cynnwys newid safle neu siâp geometrig graff y ffwythiant gwreiddiol. Mae cyfuno trawsnewidiadau ffwythiant yn golygu cyfuno dau neu fwy o drawsnewidiadau o un ffwythiant.
Dyma rai mathau cyffredin o drawsffurfiadau swyddogaeth:
– Cyfieithiad (Shifft):
– Llorweddol: \( f(x) \to f(x – h) \) symud i'r dde gan \( h \)
– Fertigol: \( f(x) \to f(x) + k \) symud i fyny bellter \( k \)
– Myfyrdod:
– Llorweddol (mewn perthynas â'r echelin-y): \( f(x) \to f(-x) \)
– Fertigol (mewn perthynas â'r echelin-x): \( f(x) \to -f(x) \)
– Ymlediad (Graddio):
– Llorweddol: \( f(x) \to f(ax) \) gyda \( a \) fel y ffactor graddfa llorweddol
– Fertigol: \( f(x) \to kf(x) \) gyda \( k \) fel y ffactor graddfa fertigol
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1:
O ystyried y ffwythiant gwreiddiol \( f(x) = x^2 \). Penderfynwch ar ffurf newydd y ffwythiant ar ôl cymhwyso'r cyfuniad canlynol o drawsffurfiadau:
1. Cyfieithiad llorweddol i'r dde gan 3 uned.
2. Ymlediad fertigol gyda ffactor graddfa o 2.
Trafodaeth:
1. Cyfieithiad Llorweddol:
Mae'r ffwythiant \( f(x) = x^2 \) os caiff ei symud i'r dde gan 3 uned yn dod yn \( f(x – 3) = (x – 3)^2 \).
Felly'r ffwythiant newydd ar ôl cyfieithu llorweddol yw \( f_1(x) = (x – 3)^2 \).
2. Ymlediad Fertigol:
Ar ôl ymlediad fertigol gan ffactor o 2, mae'r ffurf yn dod yn \( 2 \times f_1(x) = 2(x-3)^2 \).
Canlyniad terfynol y ffwythiant ar ôl y cyfuniad o drawsffurfiadau yw:
\[ g(x) = 2(x – 3)^2 \]
Cwestiwn 2:
O ystyried y ffwythiant \( f(x) = \sqrt{x} \). Penderfynwch ar ffurf newydd y ffwythiant ar ôl rhoi'r cyfuniad canlynol o drawsffurfiadau:
1. Adlewyrchiad o amgylch yr echelin-y.
2. Cyfieithiad fertigol i lawr gan 2 uned.
Trafodaeth:
1. Adlewyrchiad o amgylch yr echelin-y:
Mae'r ffwythiant \( f(x) = \sqrt{x} \) yn cael ei adlewyrchu o amgylch yr echelin-y, felly mae'n dod yn \( f(-x) = \sqrt{-x} \).
2. Cyfieithiad Fertigol:
Yna caiff y ffwythiant adlewyrchiad sy'n deillio o hyn ei symud i lawr 2 uned i ddod yn \( \sqrt{-x} – 2 \).
Felly, ffurf derfynol y ffwythiant ar ôl y trawsnewidiad yw:
[g(x) = \sqrt{-x} – 2 \]
Cwestiwn 3:
O ystyried y ffwythiant \( f(x) = \frac{1}{x} \). Penderfynwch ar ffurf newydd y ffwythiant ar ôl cymhwyso'r cyfuniad canlynol o drawsffurfiadau:
1. Cyfieithiad llorweddol i'r chwith gan 4 uned.
2. Ymlediad llorweddol gyda ffactor graddfa \(\frac{1}{2}\).
Trafodaeth:
1. Cyfieithiad Llorweddol:
Mae'r ffwythiant \( f(x) = \frac{1}{x} \) ar ôl cael ei symud i'r chwith gan 4 uned yn dod yn \( f(x + 4) = \frac{1}{x + 4} \).
2. Ymlediad Llorweddol:
Yna caiff y ffwythiant cyfieithu sy'n deillio o hyn ei ehangu'n llorweddol gan ffactor \(\frac{1}{2}\) i ddod yn \( f\left( \frac{x}{\frac{1}{2}} + 4 \right) = f(2x + 4) = \frac{1}{2x + 4} \).
Felly ffurf derfynol y ffwythiant ar ôl y trawsnewidiad yw:
[g(x) = \frac{1}{2x + 4} \]
Cwestiwn 4:
O ystyried y ffwythiant \( f(x) = \sin x \). Penderfynwch ffurf newydd y ffwythiant ar ôl rhoi'r cyfuniad canlynol o drawsffurfiadau:
1. Ymlediad fertigol gyda ffactor graddfa o 3.
2. Adlewyrchiad o amgylch yr echelin-x.
Trafodaeth:
1. Ymlediad Fertigol:
Mae'r ffwythiant gwreiddiol \(f(x) = \sin x \) ar ôl ymlediad fertigol gyda ffactor graddfa o 3 yn dod yn \(3 \sin x \).
2. Adlewyrchiad o amgylch yr echelin-x:
Yna caiff y ffwythiant ymledu sy'n deillio o hyn ei adlewyrchu o amgylch yr echelin-x, fel ei fod yn dod yn \(-3 \sin x \).
Canlyniad terfynol y ffwythiant ar ôl y cyfuniad o drawsffurfiadau yw:
[g(x) = -3 \sin x \]
Cymhwysiad mewn Graffeg
Mae deall y cyfuniad o drawsffurfiadau ffwythiannau hefyd yn bwysig iawn wrth astudio graffiau'r ffwythiannau hynny. Dyma rai pwyntiau pwysig i'w cadw mewn cof:
1. Dilyniant Trawsnewid:
Mae'r drefn y mae trawsffurfiadau'n cael eu perfformio ynddi yn aml yn effeithio ar y canlyniad terfynol. Er enghraifft, os ydym yn perfformio ymlediad cyn cyfieithu, bydd y canlyniad terfynol yn wahanol nag y byddai pe bai trefn y trawsffurfiadau wedi'i gwrthdroi.
2. Darlun graffigol:
Mae pob trawsnewidiad yn effeithio ar siâp y graff mewn ffordd benodol:
– Mae cyfieithiad yn symud y graff heb newid ei siâp.
– Mae ymlediad yn newid “lled” neu “drwch” y graff.
– Mae adlewyrchiad yn adlewyrchu'r graff o amgylch llinell.
3. Ymarfer Parhaus:
Mae graffio ffwythiannau yn seiliedig ar drawsffurfiadau yn ffordd effeithiol o ddeall y cysyniad hwn. Gallwch geisio graffio'r ffwythiannau a roddir yn y cwestiynau trafod uchod i weld sut mae eu graffiau'n newid.
Casgliad
Mae trawsnewid ffwythiannau yn gysyniad sylfaenol mewn mathemateg a ddefnyddir mewn amrywiol feysydd, yn academaidd ac yn ymarferol. Mae dysgu cyfuniadau o drawsnewidiadau ffwythiannau yn gofyn am ddealltwriaeth o hanfodion pob math o drawsnewidiad. Trwy ymarfer ac enghreifftiau, gallwn feistroli lluniadu a graffio ffwythiannau yn well. Bydd ymarfer parhaus yn eich gwneud yn fwy hyfedr wrth ddeall sut mae ffwythiannau'n newid gydag amrywiol drawsnewidiadau.
