Enghraifft o gwestiwn trafod ar y cyfernod penderfyniad
Mae'r cyfernod penderfyniad (R²) yn baramedr pwysig mewn dadansoddiad atchweliad, sy'n dangos pa mor dda y mae model atchweliad yn egluro amrywioldeb gwirioneddol y data. Yn yr erthygl hon, byddwn yn egluro cysyniad y cyfernod penderfyniad trwy enghraifft a thrafodaeth fanwl.
Cysyniad Sylfaenol Cyfernod Penderfynu
Mae'r cyfernod pennu neu \( R^2 \) yn cael ei fesur ar raddfa o 0 i 1, lle:
– Mae \( R^2 = 0 \) yn dangos nad yw'r model atchweliad yn gallu egluro amrywioldeb y data o gwbl.
– Mae \( R^2 = 1 \) yn dangos bod y model atchweliad yn gallu esbonio holl amrywioldeb y data yn berffaith.
Y fformiwla sylfaenol ar gyfer cyfrifo'r cyfernod penderfyniad yw:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Ble:
– SSR (Swm y Gweddillion Sgwâr) yw swm sgwariau'r gwahaniaethau rhwng y gwerthoedd a ragfynegwyd gan y model a'r gwerthoedd gwirioneddol.
– SST (Swm Cyfanswm y Sgwariau) yw cyfanswm swm sgwariau'r gwahaniaethau rhwng y gwerth gwirioneddol a chyfartaledd y gwerthoedd gwirioneddol.
Enghraifft o broblemau
Gadewch i ni drafod problem enghreifftiol i ddeall cyfrifiad y cyfernod penderfyniad yn fanylach.
Enghraifft o broblemau:
Tybiwch fod gennym ddata ar nifer yr oriau astudio (X) a sgoriau arholiad (Y) 10 myfyriwr:
| Myfyrwyr | Oriau Astudio (X) | Sgôr Arholiad (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Byddwn yn creu model atchweliad llinol syml lle rhagwelir sgoriau arholiadau (Y) yn seiliedig ar oriau astudio (X).
Trafodaeth
1. Adeiladu Model Atchweliad Llinol Syml
Mae gan fodel atchweliad llinol syml y ffurf:
\[ Y = a + bX \]
Ble:
– \(Y \) yw'r sgôr prawf a ragfynegwyd.
– \( X \) yw nifer yr oriau astudio.
– \( a \) yw'r rhyngdoriad (y pwynt croestoriad ar echelin Y pan fo X = 0).
– \( b \) yw'r llethr (gogwydd y llinell atchweliad).
I gyfrifo'r paramedrau \(a \) a \(b \), rydym yn defnyddio'r fformiwla ganlynol:
[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Lle mae \(n \) yn nifer y data (yn yr achos hwn n = 10).
O'r tabl gallwn gyfrifo:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Gadewch i ni gyfrifo b yn gyntaf:
[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296}]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Yna, rydym yn cyfrifo:
[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
[a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Felly, y model atchweliad llinol a gawn yw:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Cyfrifwch y Gwerth Rhagfynegedig (Y')
Nesaf, rydym yn cyfrifo'r gwerth rhagfynegedig \(Y' \) ar gyfer pob \(X \):
| Myfyrwyr | Oriau Astudio (X) | Sgôr Arholiad (Y) | Sgôr Rhagfynegedig (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Cyfrifo SSR ac SST
Nesaf, rydym yn cyfrifo SSR ac SST i gael \( R^2 \).
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y - \bar{Y})^2} \]
Ble:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Cyfrifo'r Cyfernod Penderfyniad \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Casgliad
O'r cyfrifiad uchod, cawsom gyfernod penderfyniad (R2 = 0.59). Mae hyn yn dangos y gall y model atchweliad llinol a greon ni esbonio tua 59% o'r amrywioldeb mewn sgoriau arholiadau yn seiliedig ar oriau astudio. Gallai'r 41% sy'n weddill o'r amrywioldeb fod oherwydd ffactorau eraill nad ydynt wedi'u cynnwys yn y model.
Drwy ddeall y camau a'r cyfrifiadau uchod, gallwn weld pwysigrwydd y cyfernod penderfyniad wrth asesu pa mor dda y mae'r model atchweliad rydym yn ei adeiladu yn egluro amrywioldeb gwirioneddol y data. Mae'n offeryn defnyddiol iawn mewn dadansoddi ystadegol a modelu data.
