Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Safle Pwynt mewn Perthynas â Chylch
Mae pennu safle pwynt o'i gymharu â chylch yn bwnc pwysig mewn geometreg sylfaenol, yn enwedig wrth astudio cylchoedd. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod sawl problem enghreifftiol sy'n ymwneud â safle pwynt o'i gymharu â chylch, ynghyd â'u hesboniadau. Bydd hyn yn helpu i egluro'r cysyniad trwy gymwysiadau ymarferol.
Rhagymadrodd
Cyn plymio i'r cwestiynau enghreifftiol, gadewch i ni gofio'r tri safle posibl ar gyfer pwynt ar gylch:
1. Y tu mewn i gylch: Os yw pellter pwynt i ganol y cylch yn llai na radiws y cylch.
2. Y tu allan i'r cylch: Os yw pellter y pwynt i ganol y cylch yn fwy na radiws y cylch.
3. Ar gylch: Os yw'r pellter o'r pwynt i ganol y cylch yr un fath â radiws y cylch.
Yn fathemategol, gellir pennu safle'r pwynt \(T(x_1, y_1)\) mewn perthynas â'r cylch sydd wedi'i ganoli yn \((a, b)\) gyda radiws \(r\) trwy gymharu \(T(x_1, y_1)\) â hafaliad y cylch, sef:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Os yw canlyniad amnewid \(x_1\) a \(y_1\) yn yr hafaliad yn rhoi'r gwerth:
– Yn llai na \(r^2\), mae'r pwynt y tu mewn i'r cylch.
– Yn fwy na \(r^2\), mae'r pwynt y tu allan i'r cylch.
– Yr un fath â \(r^2\), mae'r pwynt ar y cylch.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1
Pennwch safle'r pwynt \(T(3, 4)\) mewn perthynas â'r cylch gyda'r hafaliad \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
Trafodaeth:
Y cam cyntaf yw gwerthuso hafaliad y cylch a chanfod y pellter o'r pwynt \(T(3, 4)\) i ganol y cylch \((1, 2)\).
1. Nodwch ganol a radiws y cylch:
Hafaliad cylch: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Canol y cylch (\(a, b\)): (1, 2)
– Radiws y cylch (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Cyfrifwch y pellter rhwng pwynt \(T(3, 4)\) a chanol y cylch \( (1, 2) \):
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Y gwerth (2⁻² yw tua 2 × 1.414 = 2.828) (llai na (5)).
3. Casgliad:
Gan fod \( 2\sqrt{2} < 5 \), yna mae'r pwynt \( T(3, 4) \) y tu mewn i'r cylch. Cwestiwn 2 Mae gan gylch ganolbwynt yn y pwynt \( (0, 0) \) a radiws o 7. Penderfynwch safle'r pwynt \(P(5, 6) \) mewn perthynas â'r cylch.
Cwestiwn 3
Penderfynwch safle'r pwynt \(M(2, -1)\) mewn perthynas â'r cylch gyda'r hafaliad \( x^2 + y^2 = 5 \).
Trafodaeth:
1. Cyfrifwch y pellter o'r pwynt \(M(2, -1)\) i ganol y cylch \( (0, 0) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Cymharwch y pellter \(D\) â radiws y cylch:
Radiws y cylch (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Casgliad:
Gan fod \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), yna mae'r pwynt \( M(2, -1) \) ar y cylch.
Cwestiwn 4
Mae gan gylch gyda chanol yn \( (4, 3) \) radiws \(\sqrt{10}\). Dangoswch safle'r pwynt \( N(7, 7) \) mewn perthynas â'r cylch hwn.
Trafodaeth:
1. Hafaliad Cylch:
Hafaliad cylch gyda chanol (4, 3) a radiws (10) yw:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Cyfrifwch y pellter o bwynt \( N(7, 7) \) i ganol y cylch \( (4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Casgliad:
Gan fod \(5 > \sqrt{10} \), yna mae'r pwynt \(N(7, 7) \) y tu allan i'r cylch.
Cau
Drwy ddeall sut i gyfrifo pellter pwynt o ganol cylch a'i gymharu â'r radiws, gallwn bennu safle pwynt yn hawdd o'i gymharu â'r cylch. Disgwylir i'r drafodaeth yn yr erthygl hon ddarparu dealltwriaeth glir o'r cysyniad a sut i ddatrys problemau sy'n ymwneud â safle pwynt o'i gymharu â chylch.
Yn ymarferol, mae gwybod safle'r pwyntiau hyn yn hynod ddefnyddiol mewn amrywiol gymwysiadau mathemategol, gan gynnwys dadansoddi geometrig, dylunio graffig a pheirianneg. Felly, mae meistroli'r cysyniad hwn yn sylfaen bwysig sy'n haeddu sylw gofalus a dealltwriaeth fanwl.
