Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Dangiadau i Adrannau Conig
Rhagymadrodd
Mae adran gonig yn gromlin sy'n deillio o groesffordd plân â chôn deubegwn. Mae'r cromliniau hyn yn cynnwys cylchoedd, elipsau, parabolas, a hyperbolas. Un pwnc pwysig wrth ddeall adrannau conig yw'r llinell tangiad. Mae tangiad i adran gonig yn llinell sy'n cyffwrdd â'r gromlin gonig mewn un pwynt yn unig. Bydd yr erthygl hon yn trafod sawl problem enghreifftiol a thrafodaeth o dangiadau i adrannau conig.
Tangiad i Gylch
Cylch yw adran gonig sydd â'r siâp symlaf a chymesuredd perffaith. Gadewch i ni ddechrau gyda phroblem enghreifftiol am dangiadau i gylch.
Cwestiwn Enghraifft 1
O ystyried cylch gyda'r hafaliad _( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 _). Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad yn y pwynt _((5, -3)_) ar y cylch.
Trafodaeth
Hafaliad cyffredinol cylch yw \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), gyda \( (h, k) \) fel canol y cylch a \( r \) fel y radiws. Yn y broblem hon, canol y cylch \((h, k) \) yw \((2, -3) \) a'r radiws \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Gellir dod o hyd i'r llinell tangiad yn y pwynt \((x_1, y_1)\) ar y cylch gan ddefnyddio'r fformiwla ganlynol:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Nodwch werthoedd hysbys:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
[x = \frac{31}{3} \]
Hafaliad y llinell tangiad yw \(x = \frac{31}{3}\), ond mae gwall yn y dull hwn oherwydd bod y pwynt \((5, -3)\) yn amlwg yn bwynt ar y cylch. Felly, rydym yn defnyddio'r dull traddodiadol trwy amnewid llethr y llinell tangiad yn y pwynt penodol hwn:
Y pwynt tangiad yw, \((5, -3)\), yna, graddiant (m) y llinell radiws yw \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), lle mae graddiant y llinell tangiad yn dod yn anhysbys ar gyfer y tangiad fertigol blaenorol.
Llinell Tangiad i Ellips
Mae elips yn adran gonig sydd â dwy echel gymesuredd: echel fawr (hir) ac echel fach (byr). Dyma rai enghreifftiau o broblemau gydag elipsau.
Cwestiwn Enghraifft 2
O ystyried elips gyda'r hafaliad \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad yn y pwynt \((2, \frac{3}{2})\) ar yr elips.
Trafodaeth
Hafaliad y llinell tangiad i'r elips \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) yn y pwynt \((x_1, y_1)\) yw:
[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Gyda \(a = 4\) a \(b = 3\), amnewidiwch werthoedd \(a\), \(b\), a'r pwynt \((2, \frac{3}{2})\):
[\frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
[\frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Lluoswch yr hafaliad cyfan ag 8 i gael gwared ar y ffracsiynau:
\[ x + 4y = 8 \]
Felly, hafaliad y llinell tangiad i'r elips yw \( x + 4y = 8 \).
Llinell Tangiad i Barabola
Mae parabola yn adran gonig gydag un echel gymesuredd ac un fertig. Dyma rai enghreifftiau o broblemau gyda pharabolas.
Cwestiwn Enghraifft 3
O ystyried parabola gyda'r hafaliad _(y^2 = 4x _). Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad yn y pwynt _((1, 2) _) ar y parabola.
Trafodaeth
Hafaliad y llinell tangiad i'r parabola \( y^2 = 4ax \) yn y pwynt \((x_1, y_1)\) yw:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
O'r hafaliad parabola (y² = 4x), cawn (4a = 4) fel bod (a = 1). Amnewidiwch werth (a) a'r pwynt (1, 2)):
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
Felly, hafaliad y llinell tangiad i'r parabola yw \( y = x + 1 \).
Llinell Tangiad i Hyperbola
Mae hyperbola yn adran gonig gyda dwy gangen a dau asymptot. Dyma rai enghreifftiau o broblemau gyda hyperbolau.
Cwestiwn Enghraifft 4
O ystyried hyperbola gyda'r hafaliad _( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Penderfynwch hafaliad y llinell tangiad yn y pwynt _((5, 0)\) ar yr hyperbola.
Trafodaeth
Hafaliad y llinell tangiad i'r hyperbola \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) yn y pwynt \((x_1, y_1)\) yw:
[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Gyda (a = 5) a (b = 4), amnewidiwch y gwerthoedd (a), (b), a'r pwynt (5, 0)):
[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[x = 5 \]
Felly, hafaliad y llinell tangiad i'r hyperbola yw \(x = 5 \).
Casgliad
Mae tangiadau i adrannau conig yn chwarae rhan hanfodol mewn mathemateg ac amrywiol gymwysiadau ymarferol. Mae deall sut i ddod o hyd i hafaliadau tangiadau i wahanol fathau o adrannau conig, fel cylchoedd, elipsau, parabolas, a hyperbolas, yn sgil hanfodol mewn calcwlws a geometreg ddadansoddol. Gyda'r enghreifftiau a'r trafodaethau uchod, gobeithir y bydd darllenwyr yn cael gwell dealltwriaeth o'r cysyniadau a'r dulliau ar gyfer pennu tangiadau i adrannau conig.
