Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Swyddogaethau Cynyddol, Swyddogaethau Gostyngol, a Swyddogaethau Sefydlog
Mae ffwythiannau mathemategol yn bwnc eithaf manwl ac maent yn llawn nodweddion amrywiol, ac un ohonynt yw sut y gellir eu dadansoddi o ran cyflyrau cynyddol, gostyngol, neu llonydd. Mae gwybod a yw ffwythiant yn cynyddu, yn gostwng, neu'n gyson ar gyfnod penodol yn hanfodol mewn amrywiol gymwysiadau mathemateg, gan gynnwys economeg, ffiseg a pheirianneg. Bydd yr erthygl hon yn ymdrin ag enghreifftiau a'u trafodaeth sy'n gysylltiedig â ffwythiannau cynyddol, gostyngol, a llonydd.
Beth yw ffwythiannau cynyddol, ffwythiannau gostyngol, a ffwythiannau llonydd?
1. Ffwythiant Cynyddol: Dywedir bod ffwythiant \( f(x) \) yn cynyddu ar gyfwng \( I \) os, am bob \( x_1 \) a \( x_2 \) yn \( I \) gyda \( x_1 < x_2 \), mae gennym \( f(x_1) ≤ f(x_2) \). 2. Ffwythiant Gostyngol: I'r gwrthwyneb, dywedir bod ffwythiant \( f(x) \) yn lleihau ar gyfwng \( I \) os, am bob \( x_1 \) a \( x_2 \) yn \( I \) gyda \( x_1 < x_2 \), mae gennym \( f(x_1) ≤ f(x_2) \). 3. Ffwythiant Sefydlog: Dywedir bod ffwythiant \( f(x) \) yn llonydd ar gyfwng \( I \) os yw gan y ffwythiant yr un gwerth, sef \( f(x) = c \) am bob \( x \) yn \( I \), lle mae c yn gysonyn.
Enghraifft 1: Pennu'r Cyfnodau ar gyfer Ffwythiannau Cynyddol O ystyried y ffwythiant \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Pennwch y cyfnodau lle mae'r ffwythiant yn cynyddu! Trafodaeth: I bennu'r cyfnodau lle mae'r ffwythiant yn cynyddu, mae angen i ni ddod o hyd i ddeilliad cyntaf y ffwythiant ac yna dadansoddi arwydd y deilliad. 1. Cam 1: Dewch o hyd i'r deilliad cyntaf: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Cam 2: Pennwch y pwynt critigol: Y pwynt critigol yw'r pwynt lle mae'r deilliad cyntaf yn sero neu heb ei ddiffinio. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Rhannwch yr hafaliad cyfan â 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Rydym yn ffactorio'r hafaliad cwadratig hwn: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Felly, y pwyntiau critigol yw \( x = 2 \) a \( x = -1 \). 3. Cam 3: Penderfynwch arwydd y deilliad cyntaf ar y cyfwng a ffurfir gan y pwyntiau critigol: Byddwn yn creu tabl arwyddion ar gyfer \( f'(x) \) ar y cyfyngau \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), a \( (2, \infty) \). - Ar gyfer \( x \in (-\infty, -1) \): Cymerwch \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Gan fod \( f'(-2) > 0 \), yna mae \( f(x) \) yn cynyddu ar y cyfwng \( (-\infty, -1) \). – Ar gyfer (x) mewn (-1, 2): Cymerwch (x = 0)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Gan fod \( f'(0) < 0 \), yna mae \( f(x) \) yn lleihau ar y cyfwng \( (-1, 2) \). - Ar gyfer \( x \(in (2, \infty) \): Cymerwch \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] Gan fod \( f'(3) > 0 \), yna mae \( f(x) \) yn cynyddu ar y cyfwng \( (2, \infty) \).
Felly, mae'r ffwythiant \( f(x) \) yn cynyddu ar y cyfwng \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Problem Enghraifft 2: Pennu'r Cyfwng Ffwythiant Gostyngol
O ystyried y ffwythiant \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Penderfynwch y cyfnodau lle mae'r ffwythiant yn lleihau!
Trafodaeth:
1. Cam 1: Dod o hyd i'r deilliad cyntaf:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Cam 2: Penderfynu ar y pwynt critigol:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Felly'r pwyntiau critigol yw \(x = 0 \) a \(x = \frac{3}{2} \).
3. Cam 3: Penderfynwch ar arwydd y deilliad cyntaf ar y cyfwng:
– Ar gyfer \( x \in (-\infty, 0) \): Cymerwch \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Gan fod \(g'(-1) < 0 \), yna mae \(g(x) \) yn lleihau ar y cyfwng \((-\infty, 0) \).
Felly, mae'r ffwythiant \( g(x) \) yn lleihau ar y cyfwng \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Cwestiwn Enghraifft 3: Pennu Cyfnod Swyddogaeth mewn Gorffwysfa
O ystyried y ffwythiant \( h(x) = 7 \), pennwch y cyfnodau lle mae'r ffwythiant yn llonydd!
Trafodaeth:
Mae gan ffwythiant cyson fel \( h(x) = 7 \) ddeilliad cyntaf o sero ar gyfer pob \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Gan fod y deilliad cyntaf bob amser yn sero, mae'r ffwythiant yn llonydd ar y parth cyfan, felly gallwn ddweud bod y ffwythiant \( h(x) = 7 \) yn llonydd ar bob rhif real, sydd mewn nodiant cyfwng yn \( (-\infty, \infty) \).
Casgliad
Mae deall y cyfyngau o gyflyrau cynyddol, gostyngol, a llonydd mewn ffwythiant yn rhan hanfodol o ddadansoddi ffwythiannol. Trwy'r enghreifftiau uchod, rydym wedi ymdrin â'r cysyniadau sylfaenol a'r camau sydd eu hangen i ddod o hyd i'r cyfyngau hyn. Mae'r wybodaeth hon yn hynod ddefnyddiol mewn amrywiol gymwysiadau ymarferol a damcaniaethol o fathemateg.
