Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth o'r Swyddogaeth Dosraniad Normal
Mae'r dosraniad arferol, a elwir hefyd yn ddosraniad Gaussaidd, yn un o'r dosraniadau tebygolrwydd mwyaf sylfaenol mewn ystadegaeth a dadansoddi data. Nodweddir y dosraniad hwn gan gromlin gloch gymesur o amgylch y cymedr, gyda'r lledaeniad data yn adlewyrchu gwyriad safonol y gwerthoedd o'i gwmpas. Y dosraniad arferol yw sail llawer o gysyniadau mewn ystadegaeth gasgliadol ac fe'i defnyddir yn helaeth mewn amrywiol feysydd, gan gynnwys economeg, seicoleg, a'r gwyddorau cymdeithasol.
Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod rhai problemau enghreifftiol a'u datrysiadau er mwyn deall y ffwythiant dosraniad arferol yn well.
Cysyniadau Sylfaenol Dosbarthiad Normal
Disgrifir y dosraniad arferol gan ddau brif baramedr:
1. Cymedr (μ): Cyfartaledd y set ddata.
2. Gwyriad Safonol (σ): Yn mesur pa mor wasgaredig yw'r data o amgylch y cymedr.
Y ffwythiant dwysedd tebygolrwydd o'r dosraniad arferol yw:
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Dyma rai camau sylfaenol wrth ddatrys problemau gan ddefnyddio'r dosraniad arferol:
1. Pennu'r gwerth Z: Mae'r gwerth Z yn fesur o ba mor bell yw data o'r cymedr mewn unedau gwyriad safonol ac fe'i cyfrifir gan ddefnyddio'r fformiwla:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
2. Defnyddio'r tabl Z: Defnyddir y tabl Z neu'r tabl dosraniad arferol safonol i ddod o hyd i'r tebygolrwydd neu'r ganran o ddata sydd islaw neu uwchlaw gwerth Z penodol.
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth ar Ddosbarthiad Normal
Cwestiwn 1
Mae gan ddosbarth sgôr prawf mathemateg cyfartalog o 70 gyda gwyriad safonol o 10. Os yw sgoriau'r prawf wedi'u dosbarthu'n normal, pa ganran o fyfyrwyr a sgoriodd fwy nag 85?
Trafodaeth:
1. Pennu'r sgôr-Z: Yn gyntaf, cyfrifwch y sgôr-Z ar gyfer X = 85.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Edrych ar y Tabl Z: Rydym yn chwilio am y gwerth tebygolrwydd ar gyfer Z = 1.5 o'r tabl Z. Y gwerth tebygolrwydd ar gyfer Z = 1.5 yw 0.9332. Mae hyn yn golygu bod 93.32% o'r gwerthoedd islaw Z = 1.5.
3. Cyfrifo'r Ganran: Gan fod angen canran y myfyrwyr a sgoriodd fwy nag 85 arnom, rydym yn cyfrifo 1 – 0.9332 = 0.0668.
Felly, sgoriodd 6.68% o fyfyrwyr fwy nag 85.
Cwestiwn 2
Mae taldra dynion sy'n oedolion mewn gwlad yn dilyn dosraniad arferol gyda chymedr o 175 cm a gwyriad safonol o 6 cm. Pennwch ganran y dynion sydd â thaldra rhwng 170 cm a 180 cm.
Trafodaeth:
1. Penderfynwch y sgôr-Z ar gyfer 170 cm:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \tua -0.83 \]
2. Penderfynwch y sgôr-Z ar gyfer 180 cm:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \tua 0.83 \]
3. Gweld Tabl Z:
– Y tebygolrwydd ar gyfer Z = -0.83 yw 0.2033.
– Y tebygolrwydd ar gyfer Z = 0.83 yw 0.7967.
4. Cyfrifo Canran:
– Y tebygolrwydd o uchder rhwng 170 cm a 180 cm yw 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– Felly, mae gan 59.34% o ddynion uchder rhwng 170 cm a 180 cm.
Cwestiwn 3
Mae prawf IQ yn defnyddio dosraniad arferol gyda chymedr o 100 a gwyriad safonol o 15. Pa sgôr sy'n dod o fewn yr 85fed ganradd?
Trafodaeth:
1. Dod o hyd i'r gwerth Z ar gyfer yr 85fed ganradd: O'r tabl Z neu drwy ddefnyddio cyfrifiannell, mae'r 85fed ganradd yn cyfateb i Z = 1.04.
2. Cyfrifo sgôr IQ:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = 1.04 \times 15 + 100 \]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Felly, mae sgôr IQ sy'n dod o fewn yr 85fed ganradd tua 115.6.
Cwestiwn 4
Os gwyddys bod sgôr gyfartalog canlyniadau profion gwybyddol myfyrwyr ysgol uwchradd yn 65 gyda gwyriad safonol o 12, pa sgôr sydd yn y 25ain ganradd?
Trafodaeth:
1. Dod o hyd i'r gwerth Z ar gyfer y 25ain ganradd: O'r tabl Z neu gan ddefnyddio cyfrifiannell, mae'r Z ar gyfer y 25ain ganradd tua -0.674.
2. Cyfrifo sgoriau profion:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = -0.674 \times 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \tua 56.912 \]
Felly, y gwerth sydd yn y 25ain ganradd yw tua 56.912.
Casgliad
Mae'r dosraniad arferol yn gysyniad hanfodol mewn ystadegaeth sy'n ein galluogi i ddadansoddi a deall data o safbwynt tebygolrwydd. Gan ddefnyddio'r dull dosraniad arferol, gallwn gyfrifo canrannau, pennu gwerthoedd penodol yn seiliedig ar ganraddau, a chymharu data â'r cymedr.
Nid yn unig y mae datrys problemau gyda'r dosraniad arferol yn ddefnyddiol ar gyfer arholiadau ac ymchwil academaidd, ond mae ganddo gymwysiadau ymarferol hefyd mewn llawer o feysydd bywyd go iawn fel seicoleg, busnes a'r gwyddorau cymdeithasol. Trwy'r enghreifftiau a'r trafodaethau uchod, gobeithiwn y byddwch yn cael gwell dealltwriaeth o'r ffwythiant dosraniad arferol a sut i'w gymhwyso mewn gwahanol gyd-destunau.
