Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod y Swyddogaeth Dosraniad Binomial
Mae'r dosraniad binomial yn ddosraniad tebygolrwydd arwahanol sy'n disgrifio nifer y llwyddiannau mewn arbrawf sy'n cynnwys nifer o dreialon annibynnol gyda dau ganlyniad posibl: llwyddiant a methiant. Gelwir pob treial yn dreial, a defnyddir y dosraniad binomial yn aml mewn sefyllfaoedd lle mae nifer y llwyddiannau ar draws nifer o dreialon annibynnol o ddiddordeb. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod cysyniadau sylfaenol y dosraniad binomial ac yn darparu enghreifftiau ac atebion.
Cysyniadau Sylfaenol Ffwythiant Dosraniad Binomial
Cyn i ni fynd i mewn i'r cwestiynau a'r drafodaeth enghreifftiol, gadewch i ni drafod rhai cysyniadau sylfaenol sy'n gysylltiedig â'r dosraniad binomial.
1. Diffiniad: Diffinnir y dosraniad binomial fel swm y llwyddiannau mewn 'n' treialon annibynnol, lle mae gan bob treial ddau ganlyniad posibl: llwyddiant (gyda thebygolrwydd p) neu fethiant (gyda thebygolrwydd q = 1 – p).
2. Ffwythiant Tebygolrwydd: Ffwythiant tebygolrwydd y dosraniad binomial yw:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Ble:
– \( P(X = k) \) yw'r tebygolrwydd o gael k llwyddiant mewn n treial.
– Mae \( \binom{n}{k} \) yn gyfuniad o n yn cymryd k, a ddiffinnir fel \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) yw'r tebygolrwydd o lwyddo ar bob treial.
– \( (1-p) \) yw'r tebygolrwydd o fethu ar bob treial.
3. Gwerth Disgwyliedig ac Amrywiad:
– Y gwerth disgwyliedig (cymedr) ar gyfer y dosraniad binomial yw \( \mu = np \).
– Amrywiant y dosraniad binomial yw ∫( sigma^2 = np(1-p) ∫).
Nawr, gadewch i ni gymhwyso'r cysyniadau hyn mewn problem enghreifftiol i ddarparu dealltwriaeth ddyfnach.
Cwestiwn Enghraifft 1: Cyfrifiadau Sylfaenol o Ddosbarthiad Binomial
Cwestiwn:
Mae cwmni'n cynhyrchu cydrannau electronig gyda thebygolrwydd o 0.95 y bydd pob cydran yn pasio prawf ansawdd. Os cynhyrchir 10 cydran, cyfrifwch y tebygolrwydd y bydd 8 cydran yn union yn pasio'r prawf ansawdd.
Trafodaeth:
Gallwn ddefnyddio'r fformiwla dosraniad binomial i ddatrys y broblem hon. Yn gyntaf, rydym yn nodi'r paramedrau canlynol:
– \( n \) (cyfanswm nifer y treialon) = 10
– \(k \) (nifer y llwyddiannau) = 8
– \( p \) (tebygolrwydd llwyddiant) = 0.95
– \( q \) (tebygolrwydd methiant) = 1 – 0.95 = 0.05
Yna rhowch y gwerthoedd hyn yn y fformiwla dosraniad binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Yn gyntaf, cyfrifwch y cyfuniad \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Yna, cyfrifwch y tebygolrwyddau \( (0.95)^8 \) a \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \tua 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Yn olaf, lluoswch yr holl werthoedd hynny i gael:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 tua 0.0744
\]
Felly, y tebygolrwydd y bydd 8 allan o 10 cydran yn union yn pasio'r prawf ansawdd yw tua 0.0744 neu 7.44%.
Cwestiwn Enghraifft 2: Tebygolrwydd Cronnus
Cwestiwn:
Gan fod yr un cwmni yn dal i fod, cyfrifwch y tebygolrwydd y bydd o leiaf 9 allan o 10 cydran yn pasio'r prawf ansawdd.
Trafodaeth:
I ddatrys y broblem hon, mae angen i ni gyfrifo'r tebygolrwydd cronnus. Mae'r tebygolrwydd y bydd o leiaf 9 allan o 10 cydran yn pasio'r prawf yn golygu ein bod yn cyfrifo \( P(X \geq 9) \), y gellir ei ysgrifennu fel:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Gan ddefnyddio'r fformiwla dosraniad binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Yn gyntaf, cyfrifwch y cyfuniad ar gyfer pob achos:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Yna, cyfrifwch y tebygolrwyddau ar gyfer \( P(X = 9) \) a \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \tua 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 tua 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \tua 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Cyfanswm y tebygolrwydd ar gyfer \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 = tua 0.9138
\]
Felly, mae'r tebygolrwydd y bydd o leiaf 9 allan o 10 cydran yn pasio'r prawf ansawdd tua 0.9138 neu 91.38%.
Cwestiwn Enghraifft 3: Gwerth Disgwyliedig ac Amrywiant
Cwestiwn:
Cyfrifwch y gwerth disgwyliedig ac amrywiant nifer y cydrannau sy'n pasio'r prawf ansawdd allan o 10 cydran a gynhyrchwyd, gyda thebygolrwydd o basio o 0.95.
Trafodaeth:
Defnyddiwch y fformiwla ganlynol:
– Gwerth disgwyliedig (cymedr) \( \mu = np \)
– Amrywiant \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Gyda n = 10 a p = 0.95:
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Felly, y gwerth disgwyliedig ar gyfer nifer y cydrannau sy'n pasio'r prawf ansawdd yw 9.5, a'r amrywiant yw 0.475.
Casgliad
Drwy’r tair problem enghreifftiol uchod, rydym wedi trafod sut i gyfrifo tebygolrwydd gan ddefnyddio’r dosraniad binomial ar gyfer gwahanol sefyllfaoedd: cyfrifo tebygolrwydd union, tebygolrwydd cronnus, a chyfrifo gwerth disgwyliedig ac amrywiant. Mae gwybodaeth am y dosraniad binomial yn ddefnyddiol mewn gwahanol feysydd, megis gweithgynhyrchu, ymchwil feddygol, ac ystadegau cymdeithasol, lle gellir dadansoddi canlyniadau arbrofion dro ar ôl tro gyda dau ganlyniad posibl i gynorthwyo gwneud penderfyniadau. Gobeithio y bydd y problemau enghreifftiol a’r trafodaethau a ddarperir yn helpu i ddeall y dosraniad binomial ymhellach.
