Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Swyddogaethau a Swyddogaethau An-Swyddogaethau: Deall Cysyniadau Sylfaenol
Pengenalan
Mewn mathemateg, yn enwedig mewn algebra, mae cysyniad ffwythiant yn un o'r rhai mwyaf sylfaenol a phwysig. Mae ffwythiannau'n caniatáu inni ddeall y berthynas rhwng dau set mewn ffordd systematig iawn. I ddeall ffwythiant, mae angen inni ddeall ei ddiffiniad a'i nodweddion yn gyntaf. Felly, bydd yr erthygl hon yn adolygu problemau enghreifftiol ac yn trafod ffwythiannau a ffwythiannau nad ydynt yn ffwythiannau. Bydd hyn yn ein helpu i ddatblygu dealltwriaeth ddyfnach o'r pwnc hwn.
Diffiniad o Swyddogaeth ac An-Swyddogaeth
Gadewch i ni ddechrau drwy ddeall diffiniad ffwythiant. Mewn mathemateg, gellir diffinio ffwythiant fel perthynas sy'n cysylltu pob elfen o'r set barth ag un elfen yn union o'r set cyd-barth. Mewn geiriau eraill, ar gyfer pob elfen yn y set barth, dim ond un elfen gyfatebol sydd yn y set cyd-barth.
Enghreifftiau o Berthnasau sy'n Swyddogaethau:
– Set A = {1, 2, 3}
– Set B = {4, 5, 6}
– Perthynas R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Mae'r berthynas R yn ffwythiant oherwydd bod pob elfen o set A wedi'i pharu ag un elfen yn unig o set B.
Perthynas nad yw'n swyddogaeth yw perthynas nad yw'n bodloni'r meini prawf hyn, sef bod o leiaf un elfen yn y rhanbarth gwreiddiol sydd wedi'i pharu â mwy nag un elfen yn y rhanbarth canlyniad.
Enghreifftiau o Berthnasau nad ydynt yn Swyddogaethau:
– Set C = {1, 2, 3}
– Set D = {4, 5, 6}
– Perthynas S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
Nid yw'r berthynas S yn ffwythiant oherwydd bod yr elfen '1' yn set C wedi'i pharu â dwy elfen yn set D (sef 4 a 5).
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
I ddyfnhau ein dealltwriaeth o swyddogaethau ac answyddogaethau ymhellach, gadewch i ni edrych ar rai cwestiynau enghreifftiol a'u trafodaethau.
Cwestiwn Enghraifft 1: Pennu Swyddogaethau
O ystyried set X = {a, b, c, d} a set Y = {1, 2, 3, 4}, a yw'r berthynas wedi'i diffinio fel a ganlyn yn ffwythiant?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Trafodaeth:
Gadewch i ni wirio pob elfen yn y set X:
– mae 'a' wedi'i baru ag '1'
– mae 'b' wedi'i baru â '2'
– 'c' wedi'i baru â '3'
– 'd' wedi'i baru â '4'
Gan fod pob elfen yn set X wedi'i pharu ag un elfen yn union yn set Y, mae'r berthynas R yn ffwythiant.
Cwestiwn Enghraifft 2: Adnabod Swyddogaethau neu Swyddogaethau An-Swyddogaethau
O ystyried set P = {u, v, w} a set Q = {5, 6, 7}. Penderfynwch a yw'r berthynas ganlynol yn ffwythiant:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Trafodaeth:
Gadewch i ni archwilio pob elfen yn y set P:
– 'u' wedi'i baru â '5'
– 'v' wedi'i baru â '6'
– mae 'u' hefyd yn cael ei baru â '7'
Gan fod elfen 'u' yn set P wedi'i pharu â mwy nag un elfen yn set Q, nid yw'r berthynas S yn ffwythiant.
Cwestiwn Enghraifft 3: Lluniadu Ffwythiannau o Graffiau
O ystyried graff o berthynas ar y plân cyfesurynnau, penderfynwch a yw'n ffwythiant ai peidio. Mae'r graff yn dangos y pwyntiau canlynol:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Trafodaeth:
Mae gan bob pwynt ar y graff bâr o'r ffurf (x, y), sy'n dangos bod un gwerth yn union o y yn gysylltiedig â phob gwerth penodol o x. Gan fod pob elfen yn y parth wedi'i pharu ag un elfen yn union yn y cyd-barth, y graff penodol yw graff ffwythiant.
Problem Enghraifft 4: Swyddogaethau ar Ffurf Hafaliadau
Penderfynwch a yw'r hafaliad y = x² yn ffwythiant os yw'r parth penodol yn rhifau real i gyd.
Trafodaeth:
Mae angen i ni wirio a oes gan bob gwerth-x yn y parth un a dim ond un gwerth-y sy'n gysylltiedig ag ef. Amnewid rhai gwerthoedd-x:
– Os yw x = 1, yna y = 1² = 1
– Os yw x = 2, yna y = 2² = 4
– Os yw x = -1, yna y = (-1)² = 1
Gellir gweld, ar gyfer pob gwerth a ddewisir o x, mai dim ond un gwerth cysylltiedig sydd o y. Felly, mae y = x² yn ffwythiant.
Cwestiwn Enghraifft 5: Swyddogaethau gyda Swyddogaethau Gwrthdro
Gadewch i f(x) fod y ffwythiant a ddiffinnir gan f: x → x + 3. Dewch o hyd i wrthdro'r ffwythiant hwn, os yw'n bodoli.
Trafodaeth:
Os yw f: x → x + 3, yna mae angen i ni ddod o hyd i ffwythiant g fel bod f(g(x)) = x a g(f(x)) = x. Gan ddechrau gyda'r hafaliad:
– y = x + 3
I ddod o hyd i'r gwrthdro, rydym yn ynysu x:
– x = y – 3
Felly, y ffwythiant gwrthdro yw g(y) = y – 3.
Felly, gwrthdro'r ffwythiant f(x) = x + 3 yw f⁻¹(x) = x – 3.
Casgliad
O'r drafodaeth uchod, rydym wedi gweld sawl enghraifft o broblemau sy'n cynnwys ffwythiannau ac answyddogaethau, ynghyd â'u hesboniadau. Mae'r cysyniad o ffwythiant yn ein dysgu bod rhaid i bob elfen o'r set parth gael ei pharu ag un elfen yn union o'r set cyd-barth. Mae adnabod ffwythiannau o graffiau a hafaliadau hefyd yn dechneg ddefnyddiol ar gyfer pennu natur perthynas. Drwy ymarfer y mathau hyn o broblemau, byddwn yn dod yn fwy cyfarwydd â chysyniadau sylfaenol ffwythiannau ac answyddogaethau, sy'n sylfeini hanfodol mewn algebra a dadansoddi mathemategol arall, ac yn eu deall yn well.
